Найдите область значения функции f(x)=корень из (2x-x^2)

Для того чтобы найти область значений функции ( f(x) = \sqrt{2x - x^2} ), нужно разобраться, при каких значениях ( y ) (значений функции) данное выражение имеет смысл. Рассмотрим это поэтапно.

1. Требования для корня

Функция ( f(x) = \sqrt{2x - x^2} ) определена только тогда, когда подкоренное выражение ( 2x - x^2 ) неотрицательно. То есть:

[ 2x - x^2 \geq 0 ]

2. Решим неравенство ( 2x - x^2 \geq 0 )

Приведем выражение к стандартному виду:

[ -x^2 + 2x \geq 0 ]

Вынесем минус за скобки (чтобы было удобнее работать):

[ x^2 - 2x \leq 0 ]

Вынесем общий множитель ( x ):

[ x(x - 2) \leq 0 ]

Определим нули выражения: ( x = 0 ) и ( x = 2 ). Это точки, где выражение обращается в ноль.

Теперь разберем знаки произведения ( x(x-2) ) на промежутках, разбитых этими точками (( x = 0 ) и ( x = 2 )):

• При ( x < 0 ): оба множителя ( x ) и ( (x - 2) ) отрицательны, произведение положительное.
• При ( 0 < x < 2 ): ( x > 0 ), а ( (x - 2) < 0 ), произведение отрицательное.
• При ( x > 2 ): оба множителя положительны, произведение положительное.

Нас интересует, где произведение меньше либо равно нулю. Это выполняется на отрезке:

[ x \in [0, 2] ]

3. Найдем область значений функции

Теперь известно, что ( x \in [0, 2] ). В этих пределах подкоренное выражение ( 2x - x^2 ) принимает некоторые значения, и наша задача — найти эти значения.

Подкоренное выражение:

[ y^2 = 2x - x^2 ]

Представим это выражение как функцию:

[ g(x) = 2x - x^2 ]

Эта функция — квадратичная, и ее график представляет собой параболу, направленную вниз (так как старший коэффициент ( -1 ) отрицателен). Найдем вершину параболы, чтобы определить максимальное значение ( g(x) ).

Вершина параболы

Координата вершины ( x_{\text{вершина}} ) определяется по формуле:

[ x_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a}, \quad a = -1, \, b = 2 ]

Подставим:

[ x_{\text{вершина}} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 ]

Подставим ( x = 1 ) в ( g(x) ), чтобы найти значение функции в вершине:

[ g(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1 ]

Таким образом, максимальное значение подкоренного выражения равно ( 1 ).

Значения ( g(x) ) на концах отрезка

На концах отрезка ( x \in [0, 2] ) подкоренное выражение равно:

• При ( x = 0 ): ( g(0) = 2(0) - (0)^2 = 0 ),
• При ( x = 2 ): ( g(2) = 2(2) - (2)^2 = 0 ).

4. Итоговая область значений

Подкоренное выражение ( 2x - x^2 ) изменяется от ( 0 ) до ( 1 ), включая эти значения. Так как ( f(x) = \sqrt{2x - x^2} ), а корень из числа определен только для неотрицательных чисел, область значений ( f(x) ) будет:

[ f(x) \in [0, 1] ]

Ответ:

Область значений функции ( f(x) = \sqrt{2x - x^2} ) равна:

[ [0, 1] ]

Для нахождения области значений функции ( f(x) = \sqrt{2x - x^2} ) необходимо сначала определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем является неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.

1. Определим условие для подкоренного выражения: [ 2x - x^2 \geq 0 ] Это неравенство можно переписать в стандартной форме: [ -x^2 + 2x \geq 0 ] Умножим обе стороны на -1 (при этом знак неравенства изменится): [ x^2 - 2x \leq 0 ] Факторизуем: [ x(x - 2) \leq 0 ]

2. Найдем корни данного неравенства: Корни уравнения ( x(x - 2) = 0 ) — это ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

3. Определим знаки на интервалах: Рассмотрим интервалы, образованные корнями:

   • ( (-\infty, 0) )
   • ( [0, 2] )
   • ( (2, +\infty) )

   Проверим знак выражения ( x(x - 2) ) на каждом из интервалов:

   • Для ( x < 0 ) (например, ( x = -1 )): ( (-1)(-1 - 2) = -1 \cdot -3 = 3 > 0 )
   • Для ( 0 < x < 2 ) (например, ( x = 1 )): ( (1)(1 - 2) = 1 \cdot -1 = -1 < 0 )
   • Для ( x > 2 ) (например, ( x = 3 )): ( (3)(3 - 2) = 3 \cdot 1 = 3 > 0 )

   Таким образом, неравенство ( x(x - 2) \leq 0 ) выполняется на интервале ( [0, 2] ).

4. Найдем область значений функции: Теперь, когда мы знаем, что ( x ) может принимать значения от ( 0 ) до ( 2 ), найдем соответствующие значения функции ( f(x) ) на этом интервале.

   • Найдем ( f(0) ): [ f(0) = \sqrt{2 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt{0} = 0 ]
   • Найдем ( f(2) ): [ f(2) = \sqrt{2 \cdot 2 - 2^2} = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0 ]
   • Теперь найдем значение функции в середине интервала, например, ( f(1) ): [ f(1) = \sqrt{2 \cdot 1 - 1^2} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1 ]

   Значения функции ( f(x) ) принимают значения от ( 0 ) до ( 1 ) включительно, так как:

   • При ( x = 0 ) и ( x = 2 ) функция равна ( 0 ).
   • При ( x = 1 ) функция равна ( 1 ).
   • Значения ( f(x) ) непрерывны на интервале ( [0, 2] ), что позволяет утверждать, что все значения от ( 0 ) до ( 1 ) также достижимы.

5. Запишем область значений: Область значений функции ( f(x) = \sqrt{2x - x^2} ) — это отрезок: [ [0, 1] ] Таким образом, область значений функции ( f(x) ) — это ([0, 1]).