Найдите область значений функции у=х²+3

Чтобы найти область значений функции ( y = x^2 + 3 ), начнем с анализа самой функции.

1. Определение функции: Функция ( y = x^2 + 3 ) представляет собой квадратичную функцию, где ( x^2 ) — это основная часть, которая всегда неотрицательна (то есть ( x^2 \geq 0 ) для любого действительного числа ( x )).

2. Минимальное значение: Поскольку ( x^2 ) всегда больше или равно нулю, минимальное значение функции ( y ) достигается, когда ( x^2 = 0 ). Это происходит, когда ( x = 0 ): [ y = 0^2 + 3 = 3. ]

3. Поведение функции: Так как ( x^2 ) может принимать любые неотрицательные значения, то ( y ) может принимать значения, начиная с 3 и выше. Это можно записать как: [ y \geq 3. ]

4. Область значений: Таким образом, область значений функции ( y = x^2 + 3 ) включает все числа, которые больше или равны 3. В математическом виде это можно выразить как: [ [3, +\infty). ]

5. Графическое представление: Если изобразить график функции ( y = x^2 + 3 ), то это будет парабола, открытая вверх, с вершиной в точке ( (0, 3) ). График будет пересекать ось ( y ) в точке ( (0, 3) ) и продолжаться вверх, что подтверждает, что все значения ( y ) выше 3 будут достигнуты.

Таким образом, область значений функции ( y = x^2 + 3 ) — это интервал ( [3, +\infty) ).

Рассмотрим функцию ( y = x^2 + 3 ), где ( x ) — переменная, а ( y ) — значение функции. Необходимо найти область значений этой функции, то есть все значения ( y ), которые она может принимать.

Шаг 1. Анализ квадратичной функции

Функция ( y = x^2 + 3 ) представляет собой квадратичную функцию. Основной вид квадратичной функции — это ( y = ax^2 + bx + c ). В данном случае коэффициенты ( a = 1 ), ( b = 0 ), ( c = 3 ). Так как ( a = 1 > 0 ), то парабола направлена вверх, а её ветви расходятся.

Шаг 2. Исследование минимального значения функции

Квадратичная функция достигает своего экстремума (в данном случае минимума, так как ветви направлены вверх) в вершине параболы. Координата вершины по оси ( x ) находится по формуле: [ x{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a}. ] Подставим значения ( a = 1 ) и ( b = 0 ): [ x{\text{вершина}} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0. ] Теперь найдём значение функции в этой точке, то есть ( y{\text{вершина}} ): [ y{\text{вершина}} = (0)^2 + 3 = 3. ]

Таким образом, минимальное значение функции равно ( y = 3 ).

Шаг 3. Поведение функции

Функция ( y = x^2 + 3 ) принимает значения больше или равные 3, так как квадрат любого числа (( x^2 )) всегда неотрицателен (( x^2 \geq 0 )), а добавление 3 сдвигает всё значение на 3 вверх: [ y = x^2 + 3 \geq 0 + 3 = 3. ]

Шаг 4. Область значений

Функция может принимать любые значения ( y ), начиная с 3 и уходя в бесконечность. Таким образом, область значений функции: [ y \in [3, +\infty). ]

Ответ:

Область значений функции ( y = x^2 + 3 ): ( [3, +\infty) ).