Найдите остаток от деления многочлена f(x)=x^3-2x^4-5 на многочлен p(x)=x^3-9x

Для того чтобы найти остаток от деления многочлена f(x) на многочлен p(x), нужно разделить f(x) на p(x) с помощью деления многочленов с остатком.

Давайте разделим многочлен f(x) на многочлен p(x):

x^3 - 2x^4 - 5 | x^4 - 9x^2 + 0x + 0

• (x^4 - 9x)

                 - 9x^2 + 9x
                 - (- 9x^2 + 81x)

                               -72x - 5

Таким образом, остаток от деления многочлена f(x) на многочлен p(x) равен -72x - 5.

Чтобы найти остаток от деления многочлена ( f(x) = x^3 - 2x^4 - 5 ) на многочлен ( p(x) = x^3 - 9x ), можно воспользоваться методом многочленного деления, но в данном случае удобнее применить теорему о делении многочленов.

Согласно этой теореме, если многочлен ( f(x) ) делится на многочлен ( p(x) ), то остаток ( r(x) ) будет многочленом степени меньше, чем степень многочлена ( p(x) ). Поскольку ( p(x) = x^3 - 9x ) — это многочлен третьей степени, остаток ( r(x) ) должен быть многочленом степени меньше третьей, то есть иметь вид:

[ r(x) = ax^2 + bx + c ]

Таким образом, мы можем записать:

[ f(x) = (x^3 - 9x) \cdot q(x) + ax^2 + bx + c ]

где ( q(x) ) — это частное от деления, а ( ax^2 + bx + c ) — остаток. Однако, чтобы найти остаток, нам не обязательно находить ( q(x) ).

Теперь подставим многочлен ( f(x) ):

[ x^3 - 2x^4 - 5 = (x^3 - 9x) \cdot q(x) + ax^2 + bx + c ]

Так как ( x^3 ) и ( -2x^4 ) имеют более высокую степень, чем остаток ( ax^2 + bx + c ), давайте попробуем упростить выражение и найти ( a ), ( b ) и ( c ), подобрав подходящие значения. Для этого приравняем коэффициенты.

Однако более простой метод — это подставить корни многочлена ( p(x) = x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x-3)(x+3) ), которые равны 0, 3 и -3. Остаток ( r(x) ) при этих значениях должен равняться значению ( f(x) ), потому что ( (x^3 - 9x) ) при этих значениях обращается в ноль.

1. ( x = 0 ): [ f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^4 - 5 = -5 ] [ r(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c = -5 ]

2. ( x = 3 ): [ f(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^4 - 5 = 27 - 2 \cdot 81 - 5 = 27 - 162 - 5 = -140 ] [ r(3) = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 9a + 3b + c = -140 ]

3. ( x = -3 ): [ f(-3) = (-3)^3 - 2 \cdot (-3)^4 - 5 = -27 - 2 \cdot 81 - 5 = -27 - 162 - 5 = -194 ] [ r(-3) = a \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) + c = 9a - 3b + c = -194 ]

Теперь у нас есть система уравнений: [ \begin{cases} c = -5 \ 9a + 3b - 5 = -140 \ 9a - 3b - 5 = -194 \end{cases} ]

Упростим второе и третье уравнения: [ 9a + 3b = -135 \quad \text{(2-е уравнение)} ] [ 9a - 3b = -189 \quad \text{(3-е уравнение)} ]

Сложим эти два уравнения, чтобы избавиться от ( b ): [ (9a + 3b) + (9a - 3b) = -135 - 189 ] [ 18a = -324 ] [ a = -18 ]

Теперь подставим ( a = -18 ) во второе уравнение: [ 9(-18) + 3b = -135 ] [ -162 + 3b = -135 ] [ 3b = 27 ] [ b = 9 ]

Итак, мы нашли коэффициенты ( a ), ( b ) и ( c ) для остатка: [ r(x) = -18x^2 + 9x - 5 ]

Таким образом, остаток от деления многочлена ( f(x) = x^3 - 2x^4 - 5 ) на многочлен ( p(x) = x^3 - 9x ) равен ( r(x) = -18x^2 + 9x - 5 ).