Найдите пятый и n-ый члены геометрической прогрессии 3;-6;.
Найдите пятый и n-ый члены геометрической прогрессии 3;-6;.
В геометрической прогрессии первый член ( a_1 = 3 ), второй член ( a_2 = -6 ). Чтобы найти знаменатель прогрессии ( q ), используем формулу:
[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-6}{3} = -2. ]
Теперь можем найти пятый член ( a_5 ) и ( n )-й член ( a_n ):
[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. ]
Подставляем значения:
Для ( n = 5 ): [ a_5 = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48. ]
Для общего ( n ): [ a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}. ]
Таким образом, пятый член ( a_5 = 48 ), а ( n )-ый член ( a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1} ).
В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Давайте определим первый член и знаменатель для данной прогрессии.
Исходя из условий, первый член ( a_1 = 3 ), а второй член ( a_2 = -6 ). Чтобы найти знаменатель прогрессии ( q ), используем формулу для второго члена:
[ a_2 = a_1 \cdot q ]
Подставим известные значения:
[ -6 = 3 \cdot q ]
Решим это уравнение для ( q ):
[ q = \frac{-6}{3} = -2 ]
Теперь мы знаем, что первый член прогрессии ( a_1 = 3 ) и знаменатель ( q = -2 ).
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} ]
Теперь найдем пятый член прогрессии ( a_5 ):
[ a_5 = a_1 \cdot q^{(5-1)} = 3 \cdot (-2)^{4} ]
Вычислим ( (-2)^{4} ):
[ (-2)^{4} = 16 ]
Теперь подставим это значение в формулу для ( a_5 ):
[ a_5 = 3 \cdot 16 = 48 ]
Теперь мы нашли пятый член прогрессии: ( a_5 = 48 ).
Теперь давайте найдем n-й член прогрессии. Подставим известные значения в формулу для n-го члена:
[ a_n = 3 \cdot (-2)^{(n-1)} ]
Таким образом, n-й член геометрической прогрессии выражается формулой:
[ a_n = 3 \cdot (-2)^{(n-1)} ]
Эта формула позволяет вам вычислить любой n-й член прогрессии, подставив соответствующее значение ( n ).
Давайте разберём задачу и подробно найдем пятый и ( n )-ый члены геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия задаётся первым членом и общим знаменателем. У нас дано:
Для нахождения пятого (( b_5 )) и общего (( b_n )) членов прогрессии, нужно определить общий знаменатель (( q )) и записать общую формулу ( n )-ого члена прогрессии.
По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член получается умножением предыдущего на ( q ). То есть: [ b_2 = b_1 \cdot q ] Подставим ( b_1 = 3 ) и ( b_2 = -6 ): [ -6 = 3 \cdot q ] Разделим обе части на 3: [ q = -2 ] Общий знаменатель равен ( q = -2 ).
Формула для ( n )-ого члена геометрической прогрессии имеет вид: [ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ] Где:
Подставим известные значения: ( b_1 = 3 ), ( q = -2 ): [ b_n = 3 \cdot (-2)^{n-1} ]
Подставим ( n = 5 ) в общую формулу: [ b_5 = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 ] Вычислим степень: ( (-2)^4 = 16 ). Тогда: [ b_5 = 3 \cdot 16 = 48 ]
