Найдите первый член геометрической прогрессии если b4=24 и b7=192

Для решения задачи найдем первый член геометрической прогрессии, ( b_1 ), используя данную информацию:

• Четвёртый член прогрессии ( b_4 = 24 ),
• Седьмой член прогрессии ( b_7 = 192 ).

Формула общего члена геометрической прогрессии:

Общий член геометрической прогрессии выражается формулой: [ b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, ] где:

• ( b_n ) — ( n )-й член прогрессии,
• ( b_1 ) — первый член прогрессии,
• ( q ) — знаменатель геометрической прогрессии,
• ( n ) — номер члена.

Подставим данные в формулу для ( b_4 ) и ( b_7 ): [ b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3, ] [ b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6. ]

Из условия задачи: [ b_4 = 24, \quad b_7 = 192. ]

Найдём отношение ( \frac{b_7}{b_4} ):

[ \frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^6}{b_1 \cdot q^3} = q^{6-3} = q^3. ] Подставим значения ( b_7 = 192 ) и ( b_4 = 24 ): [ \frac{192}{24} = q^3, ] [ q^3 = 8. ] Следовательно: [ q = \sqrt[3]{8} = 2. ]

Найдём ( b_1 ):

Используем уравнение для ( b_4 ): [ b_4 = b_1 \cdot q^3. ] Подставим ( b_4 = 24 ) и ( q = 2 ): [ 24 = b_1 \cdot 2^3, ] [ 24 = b_1 \cdot 8. ] Разделим обе стороны на 8: [ b_1 = \frac{24}{8} = 3. ]

Ответ:

Первый член геометрической прогрессии: [ b_1 = 3. ]

Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, воспользуемся формулой для n-го члена геометрической прогрессии:

[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} ]

где ( b_n ) — n-й член прогрессии, ( b_1 ) — первый член, ( r ) — знаменатель прогрессии (коэффициент, на который умножается каждый следующий член).

В нашем случае у нас есть два члена:

1. ( b_4 = b_1 \cdot r^3 = 24 )
2. ( b_7 = b_1 \cdot r^6 = 192 )

Теперь мы можем составить систему уравнений:

[ b_1 \cdot r^3 = 24 \quad \text{(1)} ] [ b_1 \cdot r^6 = 192 \quad \text{(2)} ]

Чтобы найти ( r ), разделим второе уравнение на первое:

[ \frac{b_1 \cdot r^6}{b_1 \cdot r^3} = \frac{192}{24} ]

Сокращая ( b_1 ) и упрощая правую часть, получаем:

[ r^3 = 8 ]

Теперь найдем ( r ):

[ r = 8^{1/3} = 2 ]

Теперь, зная ( r ), можно подставить его обратно в одно из уравнений, чтобы найти ( b_1 ). Используем уравнение (1):

[ b_1 \cdot (2^3) = 24 ]

То есть:

[ b_1 \cdot 8 = 24 ]

Теперь решим это уравнение для ( b_1 ):

[ b_1 = \frac{24}{8} = 3 ]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен ( b_1 = 3 ).

В результате, ответ: первый член геометрической прогрессии ( b_1 = 3 ).