Найдите первый член геометрической прогрессииа) q=2/3, S4=65

Для решения задачи, найдем первый член ( a ) геометрической прогрессии, зная, что ( q = \frac{2}{3} ) и сумма первых четырех членов ( S_4 = 65 ).

Сначала вспомним формулу суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии: [ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} ]

Подставим известные значения: [ S_4 = a \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4 - 1}{\frac{2}{3} - 1} ]

Приведем выражение к более удобному виду. Сначала вычислим ( \left(\frac{2}{3}\right)^4 ): [ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} ]

Теперь подставим это значение в формулу: [ S_4 = a \frac{\frac{16}{81} - 1}{\frac{2}{3} - 1} ]

Упростим числитель и знаменатель: [ \frac{16}{81} - 1 = \frac{16}{81} - \frac{81}{81} = \frac{16 - 81}{81} = \frac{-65}{81} ] [ \frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = \frac{2 - 3}{3} = \frac{-1}{3} ]

Подставим упрощенные дроби обратно в формулу суммы: [ S_4 = a \frac{\frac{-65}{81}}{\frac{-1}{3}} ]

Деление дробей заменим умножением на обратную дробь: [ \frac{\frac{-65}{81}}{\frac{-1}{3}} = \frac{-65}{81} \times \frac{3}{-1} = \frac{-65 \cdot 3}{81 \cdot -1} = \frac{195}{81} ]

Упростим дробь ( \frac{195}{81} ): [ \frac{195}{81} = \frac{195 \div 3}{81 \div 3} = \frac{65}{27} ]

Теперь уравнение для суммы ( S_4 ) примет следующий вид: [ 65 = a \cdot \frac{65}{27} ]

Решим это уравнение для ( a ): [ a = 65 \cdot \frac{27}{65} = 27 ]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен ( a = 27 ).

Первый член геометрической прогрессии равен 5.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии необходимо использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q),

где S_n - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Дано, что q = 2/3 и S_4 = 65. Так как S_4 - сумма первых 4 членов прогрессии, подставим значения в формулу:

65 = a * (1 - (2/3)^4) / (1 - 2/3).

Выразим a из этого уравнения:

65 = a (1 - 16/81) / (1/3), 65 = a 65/81 3, 65 = a 65, a = 1.

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 1.