Найдите площади фигур ограниченных линиями y= -x^2+10x-16, y=x+2

Для нахождения площади фигур, ограниченных данными линиями, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

-x^2 + 10x - 16 = x + 2

Переносим все члены в одну часть уравнения и получаем:

-x^2 + 10x - 16 - x - 2 = 0 -x^2 + 9x - 18 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = 9^2 - 4 (-1) (-18) = 81 - 72 = 9

x1,2 = ( -9 ± √9 ) / ( -2 ) = ( -9 ± 3 ) / ( -2 )

x1 = 6, x2 = 3

Теперь найдем у соответствующих точек значение y:

y1 = 6 + 2 = 8 y2 = 3 + 2 = 5

Построим график данных функций и найдем площадь фигур, ограниченных линиями y = -x^2 + 10x - 16 и y = x + 2:

1. Сначала найдем точки пересечения графиков: (3, 5) и (6, 8).
2. Найдем интеграл от y = -x^2 + 10x - 16 до y = x + 2 от x = 3 до x = 6.
3. Вычислим интеграл и получим площадь фигуры.

После выполнения всех этих шагов мы получим искомую площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Чтобы найти площади фигур, ограниченных заданными линиями ( y = -x^2 + 10x - 16 ) и ( y = x + 2 ), нужно сначала определить точки пересечения этих линий. Для этого приравняем уравнения:

[ -x^2 + 10x - 16 = x + 2 ]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

[ -x^2 + 10x - 16 - x - 2 = 0 ]

Упрощаем:

[ -x^2 + 9x - 18 = 0 ]

Умножим уравнение на -1 для удобства:

[ x^2 - 9x + 18 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 3}{2} ]

[ x_1 = \frac{9 + 3}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{9 - 3}{2} = 3 ]

Теперь у нас есть точки пересечения ( x = 3 ) и ( x = 6 ). Вычислим соответствующие ( y )-координаты, подставив их в одно из уравнений, например, ( y = x + 2 ):

Для ( x = 3 ):

[ y = 3 + 2 = 5 ]

Для ( x = 6 ):

[ y = 6 + 2 = 8 ]

Таким образом, точки пересечения: ( (3, 5) ) и ( (6, 8) ).

Теперь найдём площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, на отрезке от ( x = 3 ) до ( x = 6 ). Для этого вычислим определённый интеграл разности функций:

[ \int{3}^{6} ((x + 2) - (-x^2 + 10x - 16)) \, dx = \int{3}^{6} (x + 2 + x^2 - 10x + 16) \, dx ]

Упрощаем подынтегральное выражение:

[ = \int_{3}^{6} (x^2 - 9x + 18) \, dx ]

Теперь найдём интеграл:

[ = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{9x^2}{2} + 18x \right]_{3}^{6} ]

Вычислим значения:

[ = \left( \frac{6^3}{3} - \frac{9 \cdot 6^2}{2} + 18 \cdot 6 \right) - \left( \frac{3^3}{3} - \frac{9 \cdot 3^2}{2} + 18 \cdot 3 \right) ]

[ = \left( \frac{216}{3} - \frac{324}{2} + 108 \right) - \left( \frac{27}{3} - \frac{81}{2} + 54 \right) ]

[ = (72 - 162 + 108) - (9 - 40.5 + 54) ]

[ = 18 - 22.5 ]

[ = -4.5 ]

Поскольку площадь не может быть отрицательной, берём модуль:

[ \text{Площадь} = 4.5 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 4.5 квадратных единиц.