Найдите производную функции f(x)=(2x-7)^8

Чтобы найти производную функции ( f(x) = (2x - 7)^8 ), мы будем использовать правило цепочки. Правило цепочки позволяет нам найти производную сложной функции, которая является композицией двух или более функций.

Функцию ( f(x) = (2x - 7)^8 ) можно представить как композицию двух функций:

1. Внутренняя функция: ( u = 2x - 7 )
2. Внешняя функция: ( f(u) = u^8 )

Теперь, чтобы найти производную ( f(x) ), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную внешней функции ( f(u) = u^8 ) по переменной ( u ).
2. Найти производную внутренней функции ( u = 2x - 7 ) по переменной ( x ).
3. Применить правило цепочки, чтобы объединить эти производные.

Шаг 1: Найти производную внешней функции

Производная функции ( f(u) = u^8 ) по переменной ( u ) равна:

[ \frac{d}{du} (u^8) = 8u^7 ]

Шаг 2: Найти производную внутренней функции

Производная функции ( u = 2x - 7 ) по переменной ( x ) равна:

[ \frac{d}{dx} (2x - 7) = 2 ]

Шаг 3: Применить правило цепочки

Правило цепочки гласит, что производная сложной функции ( f(x) = h(g(x)) ) равна произведению производной внешней функции ( h ) по внутренней функции ( g ) и производной внутренней функции ( g ) по переменной ( x ):

[ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{du} f(u) \cdot \frac{d}{dx} u ]

В нашем случае:

[ \frac{d}{dx} (2x - 7)^8 = \frac{d}{du} (u^8) \cdot \frac{d}{dx} (2x - 7) ]

Подставляем найденные производные:

[ \frac{d}{dx} (2x - 7)^8 = 8u^7 \cdot 2 ]

Теперь подставим обратно ( u = 2x - 7 ):

[ \frac{d}{dx} (2x - 7)^8 = 8(2x - 7)^7 \cdot 2 ]

Упростим выражение:

[ \frac{d}{dx} (2x - 7)^8 = 16(2x - 7)^7 ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = (2x - 7)^8 ) равна:

[ f'(x) = 16(2x - 7)^7 ]

Для нахождения производной функции f(x)=(2x-7)^8 используем правило дифференцирования сложной функции (цепного правила).

f'(x) = 8(2x-7)^7 (2) = 16*(2x-7)^7

Таким образом, производная функции f(x)=(2x-7)^8 равна f'(x) = 16*(2x-7)^7.