Найдите производную функции: f(x)=(3/x +x^2)(2-√x) С ОЧЕНЬ ПОДРОБНЫМ ОБЪЯСНЕНИЕМ!

Для нахождения производной функции (f(x) = (3/x + x^2)(2 - \sqrt{x})) необходимо воспользоваться правилом производной произведения двух функций.

1. Распишем исходную функцию (f(x)) как произведение двух функций: (f(x) = (3/x + x^2)(2 - \sqrt{x}) = 3/x 2 - 3/x \sqrt{x} + x^2 2 - x^2 \sqrt{x})

2. Найдем производные каждого слагаемого по отдельности:

   • Производная (3/x * 2) равна (-6/x^2)
   • Производная (3/x \sqrt{x}) можно найти по правилу производной произведения двух функций: ((uv)' = u'v + uv'), где (u = 3/x, v = \sqrt{x}) Тогда (u' = -3/x^2, v' = 1/(2\sqrt{x})) Получаем (3/x 1/(2\sqrt{x}) - 3/x^2 * \sqrt{x} = 3/(2x\sqrt{x}) - 3/x^{3/2})
   • Производная (x^2 * 2) равна (2x^2)
   • Производная (x^2 \sqrt{x}) можно также найти по правилу производной произведения двух функций: ((uv)' = u'v + uv'), где (u = x^2, v = \sqrt{x}) Тогда (u' = 2x, v' = 1/(2\sqrt{x})) Получаем (2x \sqrt{x} + x^2 * 1/(2\sqrt{x}) = 2x\sqrt{x} + x^{3/2})

3. Соберем все производные вместе: (f'(x) = -6/x^2 + 3/(2x\sqrt{x}) - 3/x^{3/2} + 2x^2 + 2x\sqrt{x} + x^{3/2})

Итак, производная функции (f(x) = (3/x + x^2)(2 - \sqrt{x})) равна (f'(x) = -6/x^2 + 3/(2x\sqrt{x}) - 3/x^{3/2} + 2x^2 + 2x\sqrt{x} + x^{3/2}).

Конечно! Давайте найдем производную функции ( f(x) = \left(\frac{3}{x} + x^2\right)(2 - \sqrt{x}) ).

Для этого нам понадобится использовать правило произведения и другие правила дифференцирования.

Шаг 1: Обозначим функции

Обозначим: [ u(x) = \frac{3}{x} + x^2 ] [ v(x) = 2 - \sqrt{x} ]

Тогда наша функция может быть записана как: [ f(x) = u(x) \cdot v(x) ]

Шаг 2: Применим правило произведения

Правило произведения для нахождения производной функции ( f(x) = u(x) \cdot v(x) ) выглядит так: [ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Шаг 3: Найдём производные ( u(x) ) и ( v(x) )

Производная ( u(x) )

[ u(x) = \frac{3}{x} + x^2 ]

Сначала найдём производную каждой из составляющих:

1. (\frac{3}{x} = 3x^{-1}) [ \left( 3x^{-1} \right)' = 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{3}{x^2} ]

2. (x^2) [ (x^2)' = 2x ]

Теперь сложим эти производные: [ u'(x) = -\frac{3}{x^2} + 2x ]

Производная ( v(x) )

[ v(x) = 2 - \sqrt{x} ]

Сначала найдём производную каждой из составляющих:

1. (2) [ (2)' = 0 ]

2. (\sqrt{x} = x^{1/2}) [ \left( x^{1/2} \right)' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} ]

Теперь сложим эти производные: [ v'(x) = 0 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} ]

Шаг 4: Подставим найденные производные в правило произведения

Теперь у нас есть: [ u'(x) = -\frac{3}{x^2} + 2x ] [ v'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} ]

Подставим это в формулу: [ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Шаг 5: Выразим итоговую производную

Подставим ( u'(x) ) и ( v(x) ), а также ( u(x) ) и ( v'(x) ) в формулу: [ f'(x) = \left( -\frac{3}{x^2} + 2x \right) (2 - \sqrt{x}) + \left( \frac{3}{x} + x^2 \right) \left( -\frac{1}{2\sqrt{x}} ) ]

Шаг 6: Раскроем скобки и упростим выражение

Раскроем скобки в каждом из слагаемых:

1. [ \left( -\frac{3}{x^2} + 2x \right) (2 - \sqrt{x}) = -\frac{3 \cdot 2}{x^2} + \left( -\frac{3}{x^2} \right)(-\sqrt{x}) + 2x \cdot 2 + 2x \cdot (-\sqrt{x}) ] [ = -\frac{6}{x^2} + \frac{3\sqrt{x}}{x^2} + 4x - 2x\sqrt{x} ] [ = -\frac{6}{x^2} + \frac{3}{x^{3/2}} + 4x - 2x^{3/2} ]

2. [ \left( \frac{3}{x} + x^2 \right) \left( -\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) = \frac{3}{x} \cdot \left( -\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) + x^2 \cdot \left( -\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) ] [ = -\frac{3}{2x^{3/2}} - \frac{1}{2} x^{3/2} ]

Теперь сложим все вместе: [ f'(x) = \left( -\frac{6}{x^2} + \frac{3}{x^{3/2}} + 4x - 2x^{3/2} \right) + \left( -\frac{3}{2x^{3/2}} - \frac{1}{2} x^{3/2} \right) ]

Шаг 7: Объединим подобные слагаемые

Объединим все подобные слагаемые: [ f'(x) = -\frac{6}{x^2} + \frac{3}{x^{3/2}} - \frac{3}{2x^{3/2}} + 4x - 2x^{3/2} - \frac{1}{2} x^{3/2} ]

Приведём к общему знаменателю для упрощения: [ f'(x) = -\frac{6}{x^2} + \left( \frac{3}{x^{3/2}} - \frac{3}{2x^{3/2}} \right) + 4x + \left( -2x^{3/2} - \frac{1}{2} x^{3/2} \right) ] [ = -\frac{6}{x^2} + \frac{6}{2x^{3/2}} - \frac{3}{2x^{3/2}} + 4x - \frac{4}{2} x^{3/2} - \frac{1}{2} x^{3/2} ] [ = -\frac{6}{x^2} + \frac{3}{2x^{3/2}} + 4x - \frac{5}{2} x^{3/2} ]

Это и есть производная функции: [ f'(x) = -\frac{6}{x^2} + \frac{3}{2x^{3/2}} + 4x - \frac{5}{2} x^{3/2} ]

Надеюсь, это объяснение было достаточно подробным!

Для нахождения производной функции f(x) = (3/x + x^2)(2 - √x) сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

f(x) = 3(2 - √x)/x + x^2(2 - √x)

f(x) = 6/x - 3√x/x + 2x^2 - x^2√x

f(x) = 6/x - 3/x^(3/2) + 2x^2 - x^(5/2)

Теперь найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого применим правила дифференцирования:

f'(x) = d/dx(6/x) - d/dx(3/x^(3/2)) + d/dx(2x^2) - d/dx(x^(5/2))

f'(x) = -6/x^2 + 9/(2x^(5/2)) + 4x - (5/2)x^(3/2)

f'(x) = -6/x^2 + 9/(2x^(5/2)) + 4x - 5/2x^(3/2)

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = -6/x^2 + 9/(2x^(5/2)) + 4x - 5/2x^(3/2)