Найдите производную y =корень от x (2sinx+1)

Конечно, давайте найдем производную функции ( y = \sqrt{x} (2\sin{x} + 1) ).

Для этого нам понадобится использовать правило произведения и цепное правило.

Итак, ( y = \sqrt{x} (2\sin{x} + 1) ).

1. Обозначим ( u = \sqrt{x} ) и ( v = 2\sin{x} + 1 ).

2. Найдем производные этих функций:

   • Производная ( u ) по ( x ): [ u = \sqrt{x} = x^{1/2} ] [ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} ]

   • Производная ( v ) по ( x ): [ v = 2\sin{x} + 1 ] [ \frac{dv}{dx} = 2\cos{x} ]

3. Теперь используем правило произведения для нахождения производной ( y ):

   • Если ( y = u \cdot v ), то [ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} ]

4. Подставим найденные производные ( u ) и ( v ): [ \frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot 2\cos{x} + (2\sin{x} + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} ]

5. Упростим выражение: [ \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{x}\cos{x} + \frac{2\sin{x} + 1}{2\sqrt{x}} ]

6. Приведем к общему знаменателю во втором слагаемом: [ \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{x}\cos{x} + \frac{2\sin{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} ] [ \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{x}\cos{x} + \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} ]

7. Преобразуем выражения: [ \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{x}\cos{x} + \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} ] [ \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{x}\cos{x} + \frac{\sin{x} + 1/2}{\sqrt{x}} ]

Таким образом, производная функции ( y = \sqrt{x} (2\sin{x} + 1) ) равна: [ \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{x}\cos{x} + \frac{\sin{x} + 1/2}{\sqrt{x}} ]

Для нахождения производной функции y = √(2sinx + 1) нужно применить правило дифференцирования сложной функции.

Для начала обозначим f(x) = 2sinx + 1, тогда y = √f(x). Теперь найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (2sinx + 1) = 2cosx.

Теперь применим правило дифференцирования сложной функции: (√u)' = u'/(2√u), где u = f(x). Подставим значения: y' = f'(x)/(2√f(x)) = 2cosx/(2√(2sinx + 1)) = cosx/√(2sinx + 1).

Таким образом, производная функции y = √(2sinx + 1) равна y' = cosx/√(2sinx + 1).