Найдите производную y=x^2+sinx в точке x0=П

Чтобы найти производную функции ( y = x^2 + \sin x ) в точке ( x_0 = \pi ), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти общую форму производной: Для функции ( y = x^2 + \sin x ), производная находится по правилу дифференцирования суммы функций. Это правило гласит, что производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

   Производная ( x^2 ) по ( x ) равна ( 2x ).

   Производная ( \sin x ) по ( x ) равна ( \cos x ).

   Таким образом, производная функции ( y = x^2 + \sin x ) будет:

   [ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\sin x) = 2x + \cos x ]

2. Подставить значение ( x_0 = \pi ) в найденную производную: Теперь нужно подставить ( x = \pi ) в выражение для производной.

   [ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = \pi} = 2\pi + \cos (\pi) ]

3. Вычислить значение ( \cos (\pi) ): Значение косинуса в точке ( \pi ) известно:

   [ \cos (\pi) = -1 ]

4. Подставить значение ( \cos (\pi) ) в производную: Получаем:

   [ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = \pi} = 2\pi + (-1) = 2\pi - 1 ]

Таким образом, производная функции ( y = x^2 + \sin x ) в точке ( x_0 = \pi ) равна ( 2\pi - 1 ).

Для нахождения производной данной функции y=x^2+sinx в точке х0=П воспользуемся правилом дифференцирования суммы и произведения функций.

y' = (x^2)' + (sinx)' = 2x + cosx

Теперь найдем значение производной в точке x0=П:

y'(П) = 2П + cos(П) = 2П - 1

Таким образом, производная функции y=x^2+sinx в точке x0=П равна 2*П - 1.