Найдите производные функций f (x)=20 (7x+4)^4; y=sin (3x+2); y=2e^5x-cos2x

f'(x)=560(7x+4)^3; y'=3cos(3x+2); y'=10e^5x+2sin(2x)

1. Найдем производную функции f(x)=20(7x+4)^4: f'(x) = 20 4 (7x+4)^3 * 7 f'(x) = 560(7x+4)^3

2. Найдем производную функции y=sin(3x+2): y'(x) = cos(3x+2) d/dx(3x+2) y'(x) = cos(3x+2) 3 y'(x) = 3cos(3x+2)

3. Найдем производную функции y=2e^5x-cos(2x): y'(x) = 2 d/dx(e^5x) - d/dx(cos(2x)) y'(x) = 2 5e^5x + sin(2x) * 2 y'(x) = 10e^5x - 2sin(2x)

Для нахождения производных данных функций воспользуемся правилами дифференцирования, такими как правило цепочки, правило произведения и стандартные производные элементарных функций.

1. Для функции ( f(x) = 20(7x + 4)^4 ):

   Чтобы найти производную, используем правило цепочки. Сначала находим производную внешней функции, затем умножаем на производную внутренней функции.

   [ f'(x) = 20 \cdot 4(7x + 4)^3 \cdot \frac{d}{dx}(7x + 4) ]

   Производная внутренней функции ( 7x + 4 ) равна ( 7 ). Подставляем это в выражение:

   [ f'(x) = 20 \cdot 4(7x + 4)^3 \cdot 7 = 560(7x + 4)^3 ]

2. Для функции ( y = \sin(3x + 2) ):

   Здесь также применяем правило цепочки. Производная от (\sin u) равна (\cos u), где ( u = 3x + 2 ).

   [ y' = \cos(3x + 2) \cdot \frac{d}{dx}(3x + 2) ]

   Производная внутренней функции ( 3x + 2 ) равна ( 3 ). Поэтому:

   [ y' = 3\cos(3x + 2) ]

3. Для функции ( y = 2e^{5x} - \cos(2x) ):

   Найдем производную каждого слагаемого отдельно.

   • Производная от ( 2e^{5x} ) с использованием правила цепочки:

     Производная от ( e^u ) равна ( e^u \cdot \frac{d}{dx}(u) ), где ( u = 5x ).

     [ \frac{d}{dx}(2e^{5x}) = 2 \cdot e^{5x} \cdot 5 = 10e^{5x} ]

   • Производная от (-\cos(2x)):

     Производная от (\cos u) равна (-\sin u \cdot \frac{d}{dx}(u)), где ( u = 2x ).

     [ \frac{d}{dx}(-\cos(2x)) = -(-\sin(2x) \cdot 2) = 2\sin(2x) ]

   Объединяем результаты:

   [ y' = 10e^{5x} + 2\sin(2x) ]

Таким образом, производные функций равны:

1. ( f'(x) = 560(7x + 4)^3 )
2. ( y' = 3\cos(3x + 2) )
3. ( y' = 10e^{5x} + 2\sin(2x) )