Найдите промежутки убывания функции f(x)=2x³-3x²-36x

Чтобы найти промежутки убывания функции ( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x ), следует выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции: Производная функции показывает скорость изменения функции и используется для определения промежутков возрастания и убывания.

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 36x) ]

   Применяем правила дифференцирования:

   [ f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена. Здесь производная всегда определена, поэтому решаем уравнение:

   [ 6x^2 - 6x - 36 = 0 ]

   Упростим это уравнение, разделив все члены на 6:

   [ x^2 - x - 6 = 0 ]

   Разложим квадратное уравнение на множители:

   [ (x - 3)(x + 2) = 0 ]

   Таким образом, критические точки: ( x = 3 ) и ( x = -2 ).

3. Определить знаки производной на промежутках: Теперь нужно определить знаки производной на промежутках, разделённых критическими точками. Это делается с помощью тестовых точек.

   • Выбираем точку ( x = -3 ) для промежутка ( (-\infty, -2) ): [ f'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 ]

   • Выбираем точку ( x = 0 ) для промежутка ( (-2, 3) ): [ f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 < 0 ]

   • Выбираем точку ( x = 4 ) для промежутка ( (3, \infty) ): [ f'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0 ]

4. Определить промежутки убывания: Функция убывает там, где производная отрицательна. Из предыдущего шага видно, что производная отрицательна на промежутке ( (-2, 3) ).

Таким образом, функция ( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x ) убывает на промежутке ( (-2, 3) ).

Для нахождения промежутков убывания функции f(x)=2x³-3x²-36x нужно найти ее производную и определить знаки производной на каждом интервале.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции f(x) = 2x³ - 3x² - 36x, нужно найти ее производную и определить знаки производной на интервалах.

Сначала найдем производную функции f'(x): f'(x) = 6x² - 6x - 36.

Теперь найдем корни уравнения f'(x) = 0: 6x² - 6x - 36 = 0, x² - x - 6 = 0, (x - 3)(x + 2) = 0.

Отсюда получаем два корня: x₁ = 3 и x₂ = -2.

Теперь составим таблицу знаков производной f'(x) на интервалах: (-беск.; -2), (-2; 3), (3; +беск.). Выберем точы для проверки знаков: x = -3, x = 0, x = 4.

f'(-3) = 6(-3)² - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 > 0, f'(0) = -36 < 0, f'(4) = 6(4)² - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 > 0.

Исходя из таблицы знаков производной, получаем, что на интервалах (-беск.; -2) и (3; +беск.) функция f(x) убывает.

Таким образом, промежутками убывания функции f(x) = 2x³ - 3x² - 36x являются интервалы (-беск.; -2) и (3; +беск.).