Найдите промежутки убывания функции: y=3x^4-16x^3+24x^2-11

Для нахождения промежутков убывания функции нужно найти ее производную, приравнять ее к нулю, найти точки экстремума и проверить значения производной между ними.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции ( y = 3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции: Первая производная функции ( y ) дает информацию о скорости изменения функции ( y ) относительно ( x ). Производная функции ( y ) равна: [ y' = \frac{d}{dx}(3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11) ] Применяя правила дифференцирования, получаем: [ y' = 12x^3 - 48x^2 + 48x ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся путем решения уравнения ( y' = 0 ): [ 12x^3 - 48x^2 + 48x = 0 ] Для упрощения можно вынести общий множитель ( 12x ): [ 12x(x^2 - 4x + 4) = 0 ] Решаем это уравнение: [ 12x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 4x + 4 = 0 ] Отсюда ( x = 0 ) или решаем квадратное уравнение: [ x^2 - 4x + 4 = 0 ] Которое можно разложить как: [ (x - 2)^2 = 0 ] Отсюда ( x = 2 ).

   Таким образом, критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

3. Определить знаки первой производной на промежутках между критическими точками: Разделим числовую ось на интервалы, используя критические точки: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 2) ), ( (2, \infty) ).

   Проверим знак первой производной на каждом из этих интервалов:

   • Для ( x \in (-\infty, 0) ): Выберем тестовую точку ( x = -1 ): [ y'(-1) = 12(-1)^3 - 48(-1)^2 + 48(-1) = -12 - 48 - 48 = -108 \quad (\text{отрицательный}) ]

   • Для ( x \in (0, 2) ): Выберем тестовую точку ( x = 1 ): [ y'(1) = 12(1)^3 - 48(1)^2 + 48(1) = 12 - 48 + 48 = 12 \quad (\text{положительный}) ]

   • Для ( x \in (2, \infty) ): Выберем тестовую точку ( x = 3 ): [ y'(3) = 12(3)^3 - 48(3)^2 + 48(3) = 12 \cdot 27 - 48 \cdot 9 + 48 \cdot 3 = 324 - 432 + 144 = 36 \quad (\text{положительный}) ]

4. Определить промежутки убывания функции: Функция убывает на тех промежутках, где первая производная отрицательна. Из вышеуказанных проверок видно, что:

   • На интервале ( (-\infty, 0) ) первая производная отрицательна.

   Следовательно, функция ( y = 3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11 ) убывает на промежутке ( (-\infty, 0) ).

Чтобы найти промежутки убывания функции y = 3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11, нужно найти производную этой функции и найти ее корни.

Сначала найдем производную функции: y' = 12x^3 - 48x^2 + 48x

Затем найдем корни производной функции, приравняв ее к нулю и решив уравнение: 12x^3 - 48x^2 + 48x = 0 12x(x^2 - 4x + 4) = 0 12x(x - 2)^2 = 0

Отсюда получаем, что x = 0 и x = 2. Эти точки делят ось х на три интервала: (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞).

Теперь найдем значения функции на каждом из этих интервалов:

1. Для x < 0: Подставляем x = -1 в исходную функцию и получаем y = 3(-1)^4 - 16(-1)^3 + 24*(-1)^2 - 11 = 3 + 16 + 24 - 11 = 32 > 0
2. Для 0 < x < 2: Подставляем x = 1 в исходную функцию и получаем y = 31^4 - 161^3 + 24*1^2 - 11 = 3 - 16 + 24 - 11 = 0
3. Для x > 2: Подставляем x = 3 в исходную функцию и получаем y = 33^4 - 163^3 + 243^2 - 11 = 381 - 1627 + 249 - 11 = 243 - 432 + 216 - 11 = 16 < 0

Таким образом, функция убывает на интервале (2, +∞).