Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=-x^3-3x^2+9x-2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( y = -x^3 - 3x^2 + 9x - 2 ), необходимо следовать нескольким шагам.

1. Найти первую производную функции: Для этого дифференцируем функцию ( y ) по переменной ( x ): [ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 - 3x^2 + 9x - 2) ] Используя правила дифференцирования, получаем: [ y' = -3x^2 - 6x + 9 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся путем нахождения значений ( x ), при которых первая производная равна нулю или не существует. [ -3x^2 - 6x + 9 = 0 ] Для решения этого уравнения, можно разделить его на -3: [ x^2 + 2x - 3 = 0 ] Решаем квадратное уравнение: [ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0 ] Таким образом, критические точки: [ x = -3 \quad \text{и} \quad x = 1 ]

3. Определить знаки первой производной на промежутках, разделенных критическими точками: Проверим знаки ( y' ) на интервалах ( (-\infty, -3) ), ( (-3, 1) ) и ( (1, \infty) ):

   • Для интервала ( (-\infty, -3) ), возьмем тестовую точку ( x = -4 ): [ y'(-4) = -3(-4)^2 - 6(-4) + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 \quad (\text{отрицательное}) ]

   • Для интервала ( (-3, 1) ), возьмем тестовую точку ( x = 0 ): [ y'(0) = -3(0)^2 - 6(0) + 9 = 9 \quad (\text{положительное}) ]

   • Для интервала ( (1, \infty) ), возьмем тестовую точку ( x = 2 ): [ y'(2) = -3(2)^2 - 6(2) + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 \quad (\text{отрицательное}) ]

4. Определить промежутки возрастания и убывания:

   • Функция убывает на интервале, где ( y' < 0 ): [ (-\infty, -3) \cup (1, \infty) ]
   • Функция возрастает на интервале, где ( y' > 0 ): [ (-3, 1) ]

Таким образом, функция ( y = -x^3 - 3x^2 + 9x - 2 ) возрастает на промежутке ( (-3, 1) ) и убывает на промежутках ( (-\infty, -3) \cup (1, \infty) ).

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y=-x^3-3x^2+9x-2, необходимо найти производную этой функции и выяснить ее знаки.

Сначала найдем производную функции: y' = -3x^2 - 6x + 9

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: -3x^2 - 6x + 9 = 0 x^2 + 2x - 3 = 0 (x + 3)(x - 1) = 0 x = -3 или x = 1

Теперь проведем исследование знаков производной на промежутках между найденными точками экстремума (-бесконечность; -3), (-3; 1) и (1; +бесконечность).

Для x < -3: y' = (-) (-) - (-) (-) + 9 = 9 > 0 Значит, функция возрастает на промежутке (-бесконечность; -3).

Для -3 < x < 1: y' = (-) (+) - (-) (+) + 9 = -3 < 0 Значит, функция убывает на промежутке (-3; 1).

Для x > 1: y' = (+) (+) - (+) (+) + 9 = 9 > 0 Значит, функция возрастает на промежутке (1; +бесконечность).

Итак, промежутки возрастания и убывания функции y=-x^3-3x^2+9x-2: Возрастает на (-бесконечность; -3) и (1; +бесконечность), убывает на (-3; 1).

Промежутки возрастания: (-бесконечность, -2) и (1, +бесконечность) Промежутки убывания: (-2, 1)