Найдите промежуток (промежутки) убывания функции: y=3x²-9x-4
Найдите промежуток (промежутки) убывания функции: y=3x²-9x-4
Чтобы найти промежутки убывания функции ( y = 3x^2 - 9x - 4 ), необходимо исследовать поведение производной этой функции. Производная функции покажет, где функция возрастает, а где убывает.
Нахождение производной функции:
( y = 3x^2 - 9x - 4 )
Производная функции ( y ) по ( x ) — это ( y' ):
( y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 9x - 4) )
Используем правило дифференцирования:
( y' = 6x - 9 )
Нахождение критических точек:
Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Производная ( y' = 6x - 9 ) существует для всех ( x ), поэтому приравниваем её к нулю:
( 6x - 9 = 0 )
Решаем уравнение:
( 6x = 9 )
( x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} )
Таким образом, у нас есть одна критическая точка: ( x = \frac{3}{2} ).
Исследование знака производной:
Чтобы определить, где функция убывает, исследуем знак производной на интервалах, разделённых критической точкой ( x = \frac{3}{2} ).
Для ( x < \frac{3}{2} ), выберем тестовую точку, например, ( x = 0 ):
( y'(0) = 6 \cdot 0 - 9 = -9 )
( y' < 0 ) на интервале ( (-\infty, \frac{3}{2}) ), следовательно, на этом интервале функция убывает.
Для ( x > \frac{3}{2} ), выберем тестовую точку, например, ( x = 2 ):
( y'(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 12 - 9 = 3 )
( y' > 0 ) на интервале ( (\frac{3}{2}, \infty) ), следовательно, на этом интервале функция возрастает.
Таким образом, функция ( y = 3x^2 - 9x - 4 ) убывает на интервале ( (-\infty, \frac{3}{2}) ) и возрастает на интервале ( (\frac{3}{2}, \infty) ).
Ответ: Промежуток убывания функции ( y = 3x^2 - 9x - 4 ) — это ( (-\infty, \frac{3}{2}) ).
Для нахождения промежутка убывания функции y=3x²-9x-4 необходимо найти вершины параболы, которая описывает данную функцию. В данном случае вершина находится в точке (3/2, -19/4). Так как коэффициент при x² положительный, функция убывает до вершины и возрастает после нее. Таким образом, промежуток убывания функции: (-бесконечность; 3/2).
Для того чтобы найти промежуток убывания функции y = 3x^2 - 9x - 4, необходимо найти точки экстремума данной функции. Для этого найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю:
y' = 6x - 9
6x - 9 = 0 6x = 9 x = 1.5
Теперь найдем значение второй производной функции в точке x = 1.5:
y'' = 6
Так как значение второй производной положительно, то точка x = 1.5 является точкой минимума функции. Следовательно, функция убывает на интервалах (-бесконечность; 1.5) и (1.5; +бесконечность).
