Найдите радиус вписанной окружности в треугольник со сторонами 5, 12, 13.

Для нахождения радиуса вписанной окружности в треугольник, нужно воспользоваться формулой радиуса вписанной окружности, которая связывает радиус окружности с площадью треугольника и его полупериметром.

Пусть a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности. Тогда формула имеет вид:

r = √((p - a)(p - b)(p - c) / p),

где полупериметр p = (a + b + c) / 2.

Для треугольника со сторонами 5, 12, 13 имеем a = 5, b = 12, c = 13. Сначала найдем полупериметр:

p = (5 + 12 + 13) / 2 = 15.

Теперь подставим значения в формулу:

r = √((15 - 5)(15 - 12)(15 - 13) / 15) = √(10 3 2 / 15) = √(60 / 15) = √4 = 2.

Итак, радиус вписанной окружности в треугольник со сторонами 5, 12, 13 равен 2.

Треугольник со сторонами 5, 12 и 13 является прямоугольным треугольником. Это можно проверить по теореме Пифагора:

[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2. ]

В прямоугольном треугольнике, радиус вписанной окружности ( r ) можно найти с использованием формулы:

[ r = \frac{a + b - c}{2}, ]

где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза треугольника. В нашем случае, ( a = 5 ), ( b = 12 ), ( c = 13 ).

Подставим значения в формулу:

[ r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2. ]

Таким образом, радиус вписанной окружности в данный треугольник равен 2.

Этот результат также можно подтвердить, используя другую формулу для радиуса вписанной окружности, зависящую от площади треугольника ( S ) и полупериметра ( p ):

[ r = \frac{S}{p}, ]

где полупериметр ( p = \frac{a + b + c}{2} ).

Для нашего треугольника:

[ p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15. ]

Площадь треугольника можно найти как половину произведения катетов (так как это прямоугольный треугольник):

[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30. ]

Теперь подставим значения в формулу для радиуса:

[ r = \frac{30}{15} = 2. ]

Таким образом, радиус вписанной окружности действительно равен 2.