)Найдите решение уравнения sinx/3=-1/2 на отрезке [0;3pi]

Чтобы найти решение уравнения (\sin\left(\frac{x}{3}\right) = -\frac{1}{2}) на отрезке ([0; 3\pi]), нужно следовать нескольким шагам:

1. Найдите общий вид решения уравнения (\sin\theta = -\frac{1}{2}): Сначала решим уравнение (\sin\theta = -\frac{1}{2}). Из таблицы значений синуса известно, что (\sin\theta = -\frac{1}{2}) при (\theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi) и (\theta = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi), где (k) — целое число. Однако, синус - периодическая функция с периодом (2\pi), поэтому решения можно записать в виде: [ \theta = 2\pi n + \left(-\frac{\pi}{6}\right) \quad \text{или} \quad \theta = 2\pi n + \left(-\frac{5\pi}{6}\right), ] где (n) — целое число.

2. Замена переменной: Поскольку (\theta = \frac{x}{3}), подставляем это в уравнения: [ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{3} = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi. ]

3. Решите уравнения для (x): Умножим обе части уравнений на 3:

   Для первого уравнения: [ x = -\frac{\pi}{2} + 6k\pi. ]

   Для второго уравнения: [ x = -\frac{5\pi}{2} + 6k\pi. ]

4. Найдите все решения на отрезке ([0; 3\pi]): Мы ищем такие значения (x), которые находятся в интервале ([0; 3\pi]).

   Для (x = -\frac{\pi}{2} + 6k\pi): [ -\frac{\pi}{2} + 6k\pi \in [0; 3\pi]. ]

   Решим неравенства: [ 0 \leq -\frac{\pi}{2} + 6k\pi \leq 3\pi. ]

   Прибавляем (\frac{\pi}{2}) ко всем членам неравенства: [ \frac{\pi}{2} \leq 6k\pi \leq 3\pi + \frac{\pi}{2}. ]

   Делим все члены на (6\pi): [ \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{7}{12}. ]

   Следовательно, (k = 0).

   При (k = 0): [ x = -\frac{\pi}{2} + 6 \cdot 0 \cdot \pi = -\frac{\pi}{2}. ] Это значение не подходит, так как оно не попадает в интервал ([0; 3\pi]).

   Для (x = -\frac{5\pi}{2} + 6k\pi): [ -\frac{5\pi}{2} + 6k\pi \in [0; 3\pi]. ]

   Решим неравенства: [ 0 \leq -\frac{5\pi}{2} + 6k\pi \leq 3\pi. ]

   Прибавляем (\frac{5\pi}{2}) ко всем членам неравенства: [ \frac{5\pi}{2} \leq 6k\pi \leq 3\pi + \frac{5\pi}{2}. ]

   Делим все члены на (6\pi): [ \frac{5}{12} \leq k \leq \frac{11}{12}. ]

   Следовательно, (k = 1).

   При (k = 1): [ x = -\frac{5\pi}{2} + 6 \cdot 1 \cdot \pi = -\frac{5\pi}{2} + 6\pi = \frac{7\pi}{2}. ] Это значение также не подходит, так как оно не попадает в интервал ([0; 3\pi]).

Таким образом, решений уравнения (\sin\left(\frac{x}{3}\right) = -\frac{1}{2}) на отрезке ([0; 3\pi]) нет.

Для нахождения решения уравнения sin(x/3) = -1/2 на отрезке [0;3pi] нужно рассмотреть уравнение sin(x/3) = -1/2 и найти все значения x, удовлетворяющие данному условию на указанном отрезке.

Сначала найдем общее решение уравнения sin(x/3) = -1/2. Для этого нам нужно определить, при каких углах sin(x/3) равен -1/2. Это соответствует углам, для которых sin(x) равен -1, так как sin(x/3) = sin(x)/3.

Угол x, при котором sin(x) равен -1, находится в третьем и четвертом квадрантах. В этих квадрантах sin(x) отрицательный. Таким образом, наш угол x находится в четвертом квадранте.

Теперь найдем общее решение уравнения sin(x) = -1. Обычно это соответствует углу -pi/2. Однако, так как мы находимся в четвертом квадранте, то угол будет равен 3pi/2.

Теперь найдем все значения x, удовлетворяющие уравнению sin(x/3) = -1/2 на отрезке [0;3pi]. Для этого умножим угол x на 3, чтобы получить значения sin(x), соответствующие углам x/3. Таким образом, x = 3*3pi/2 = 9pi/2.

Итак, решением уравнения sin(x/3) = -1/2 на отрезке [0;3pi] является угол x = 9pi/2.