Найдите точку максимума функции 15x2-x3+19

Для поиска точки максимума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Итак, дана функция f(x) = 15x^2 - x^3 + 19. Найдем производную этой функции:

f'(x) = d/dx (15x^2 - x^3 + 19) = 30x - 3x^2.

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку, где производная равна нулю:

30x - 3x^2 = 0 3x(10 - x) = 0 x = 0 или x = 10

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная функции равна нулю: x = 0 и x = 10. Чтобы определить, в какой из этих точек функция имеет максимум, нужно проанализировать вторую производную.

f''(x) = d^2/dx^2 (30x - 3x^2) = 30 - 6x

Теперь подставим найденные значения x = 0 и x = 10 во вторую производную:

f''(0) = 30 - 60 = 30 f''(10) = 30 - 610 = -30

Таким образом, при x = 0 функция имеет локальный минимум, а при x = 10 - локальный максимум. Получаем, что точка максимума функции f(x) = 15x^2 - x^3 + 19 равна x = 10.

Для нахождения точки максимума функции ( f(x) = 15x^2 - x^3 + 19 ) необходимо выполнить несколько шагов, связанных с анализом производных.

1. Найти первую производную функции:
   Первая производная функции ( f(x) = 15x^2 - x^3 + 19 ) вычисляется по правилу дифференцирования степенных функций: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(15x^2) - \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(19). ] [ f'(x) = 30x - 3x^2. ]

2. Найти критические точки:
   Критические точки находятся путем решения уравнения ( f'(x) = 0 ): [ 30x - 3x^2 = 0. ] Разложим уравнение: [ 3x(10 - x) = 0. ] Таким образом, ( x = 0 ) или ( x = 10 ).

3. Определить характер критических точек:
   Для определения характера критических точек (минимум, максимум или точка перегиба), найдем вторую производную функции: [ f''(x) = \frac{d}{dx}(30x - 3x^2) = 30 - 6x. ]

   Теперь подставим критические точки в ( f''(x) ):

   • Для ( x = 0 ): [ f''(0) = 30 - 6 \times 0 = 30. ] Поскольку ( f''(0) > 0 ), в точке ( x = 0 ) функция имеет локальный минимум.

   • Для ( x = 10 ): [ f''(10) = 30 - 6 \times 10 = 30 - 60 = -30. ] Поскольку ( f''(10) < 0 ), в точке ( x = 10 ) функция имеет локальный максимум.

Таким образом, точка максимума функции ( f(x) = 15x^2 - x^3 + 19 ) находится при ( x = 10 ).