Найдите точку максимума функции: - ((x^2 + 1) / x)

Для нахождения точки максимума функции необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

Итак, дана функция f(x) = - ((x^2 + 1) / x).

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного и степенной функции:

f'(x) = - (x^2 + 1)' x - (x^2 + 1) x' / x^2 f'(x) = - (2x) x - (x^2 + 1) 1 / x^2 f'(x) = -2x^2 - x^2 - 1 / x^2 f'(x) = -3x^2 - 1 / x^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку максимума:

-3x^2 - 1 / x^2 = 0 -3x^4 - 1 = 0 -3x^4 = 1 x^4 = -1/3 x = ±√(-1/3)

Таким образом, точки максимума функции - ((x^2 + 1) / x) находятся в точках x = ±√(-1/3).

Чтобы найти точку максимума функции ( f(x) = -\frac{x^2 + 1}{x} ), необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение критических точек и проведение анализа первой и второй производных.

Шаг 1: Найти первую производную функции

Сначала упростим функцию: [ f(x) = -\frac{x^2 + 1}{x} = -x - \frac{1}{x} ]

Теперь найдем первую производную ( f'(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( -x - \frac{1}{x} \right) = -1 + \frac{1}{x^2} ]

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся там, где ( f'(x) = 0 ) или где производная не существует. Решим уравнение первой производной: [ -1 + \frac{1}{x^2} = 0 ] [ \frac{1}{x^2} = 1 ] [ x^2 = 1 ] [ x = \pm 1 ]

Шаг 3: Провести анализ второй производной

Чтобы определить, являются ли найденные критические точки точками максимума или минимума, найдем вторую производную ( f''(x) ): [ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( -1 + \frac{1}{x^2} \right) = -\frac{2}{x^3} ]

Теперь подставим критические точки в ( f''(x) ) для анализа:

1. Для ( x = 1 ): [ f''(1) = -\frac{2}{1^3} = -2 ] Поскольку ( f''(1) < 0 ), ( x = 1 ) является точкой максимума.

2. Для ( x = -1 ): [ f''(-1) = -\frac{2}{(-1)^3} = 2 ] Поскольку ( f''(-1) > 0 ), ( x = -1 ) является точкой минимума.

Шаг 4: Найти значение функции в точке максимума

Теперь найдем значение функции в точке максимума ( x = 1 ): [ f(1) = -\frac{1^2 + 1}{1} = -\frac{2}{1} = -2 ]

Заключение

Функция ( f(x) = -\frac{x^2 + 1}{x} ) достигает своего максимума в точке ( x = 1 ), и значение функции в этой точке равно (-2). Таким образом, точка максимума функции — это ( (1, -2) ).

Для нахождения точки максимума функции необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.