Найдите точку максимума функции y=(2x-1)cosx-2sinx+5

Точка максимума функции y=(2x-1)cosx-2sinx+5 равна (π/6, (5√3)/2 + 5).

Для нахождения точки максимума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и найти значение x. Затем подставить найденное значение x обратно в исходную функцию, чтобы найти значение y.

1. Найдем производную функции y: y' = (2cosx - 2xsinx - sinx - 2cosx)

2. Приравняем производную к нулю и найдем значение x: 2cosx - 2xsinx - sinx - 2cosx = 0 -2xsinx - sinx = 0 sinx(2x + 1) = 0 sinx = 0 или 2x + 1 = 0

3. Найдем значения x: a) sinx = 0 x = 0, π

b) 2x + 1 = 0 2x = -1 x = -1/2

1. Подставим найденные значения x в исходную функцию для нахождения y: a) При x = 0: y = (20 - 1)cos0 - 2sin0 + 5 y = (-1)1 + 0 + 5 y = 4

b) При x = π: y = (2π - 1)cosπ - 2sinπ + 5 y = (2π - 1)(-1) - 0 + 5 y = -2π + 1 + 5 y = -2π + 6

c) При x = -1/2: y = (2(-1/2) - 1)cos(-1/2) - 2sin(-1/2) + 5 y = (-1 - 1)cos(-1/2) + 2sin(-1/2) + 5 y = (-2)cos(-1/2) + 2*(-1/2) + 5

Таким образом, точки максимума функции y=(2x-1)cosx-2sinx+5: (0, 4), (π, -2π + 6) и (-1/2, -2cos(-1/2) - 1 + 5).

Для нахождения точки максимума функции ( y = (2x-1)\cos x - 2\sin x + 5 ), нам нужно сначала найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем нужно проверить, является ли эта точка точкой максимума.

1. Найдем производную функции: [ y = (2x-1)\cos x - 2\sin x + 5 ] Применим правило дифференцирования произведения и основные правила дифференцирования: [ y' = (2x-1)' \cos x + (2x-1) \cos x' - 2 \sin x' + 5' ] [ y' = 2 \cos x - (2x-1) \sin x - 2 \cos x ] Упростим выражение: [ y' = - (2x-1) \sin x ]

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: [ -(2x-1)\sin x = 0 ] Разделим уравнение на -1: [ (2x-1)\sin x = 0 ] Это уравнение равно нулю, когда:

   • (\sin x = 0) (это происходит при (x = k\pi), где (k) — целое число)
   • (2x-1 = 0) (отсюда (x = \frac{1}{2}))

3. Проверим, являются ли эти точки максимумами, используя вторую производную или тест первой производной: Возьмем вторую производную: [ y'' = -2\sin x - (2x-1)\cos x ] Подставим точки:

   • При (x = k\pi), (\sin x = 0) и (\cos x = (-1)^k), тогда: [ y'' = -(2k\pi - 1)(-1)^k ] Знак (y'') будет зависеть от (k). Если (k) четно, то (y'') будет положительным, если нечетно — отрицательным.
   • При (x = \frac{1}{2}), (\sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1) и (\cos x = \cos \frac{\pi}{2} = 0), тогда: [ y'' = -2\sin \frac{1}{2} - (1-1)\cos \frac{1}{2} = -2 \cdot 1 = -2 ] Это значит, что в (x = \frac{1}{2}) функция имеет локальный максимум.

Таким образом, точка максимума функции (y = (2x-1)\cos x - 2\sin x + 5) находится в точке (x = \frac{1}{2}).