Найдите значение производной в заданной точке Xo f(x)=(x^3-27)\(x^2+3x+9) Xo=2008

Для нахождения значения производной в заданной точке Xo необходимо найти производную функции f(x), затем подставить значение Xo и вычислить результат.

Для нахождения значения производной функции f(x) в заданной точке Xo=2008, необходимо воспользоваться формулой производной частного двух функций.

Сначала найдем производные функций в числителе и знаменателе:

1. Найдем производную функции x^3 - 27: f'(x) = 3x^2
2. Найдем производную функции x^2 + 3x + 9: g'(x) = 2x + 3

Теперь воспользуемся формулой производной частного двух функций: (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2

Подставим все значения в формулу: (f/g)'(2008) = ((32008^2)(2008^2 + 32008 + 9) - (2008^3 - 27)(22008 + 3)) / (2008^2 + 32008 + 9)^2

(f/g)'(2008) = ((34032064)(4034145) - (8080240000 - 27)*(4019)) / (4034145)^2

(f/g)'(2008) = ( 48615450608640 - 32444999680093 ) / 16273600952025

(f/g)'(2008) = 16170450928547 / 16273600952025

(f/g)'(2008) ≈ 0.993705

Таким образом, значение производной функции f(x) в точке Xo=2008 равно примерно 0.993705.

Чтобы найти значение производной функции ( f(x) = \frac{x^3 - 27}{x^2 + 3x + 9} ) в точке ( x_0 = 2008 ), необходимо сначала найти общую формулу для производной этой функции, а затем подставить в неё заданное значение ( x_0 ).

Функция ( f(x) ) представляет собой частное двух функций, поэтому для нахождения её производной используем правило дифференцирования частного:

[ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} ]

где ( g(x) = x^3 - 27 ) и ( h(x) = x^2 + 3x + 9 ).

Теперь найдём производные ( g'(x) ) и ( h'(x) ):

1. ( g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 27) = 3x^2 ).

2. ( h'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 9) = 2x + 3 ).

Подставляем эти производные в формулу для производной частного:

[ f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 + 3x + 9) - (x^3 - 27)(2x + 3)}{(x^2 + 3x + 9)^2} ]

Теперь раскрываем скобки в числителе:

1. ( 3x^2(x^2 + 3x + 9) = 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 ).

2. ( (x^3 - 27)(2x + 3) = 2x^4 + 3x^3 - 54x - 81 ).

Вычитаем второе выражение из первого:

[ 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 - (2x^4 + 3x^3 - 54x - 81) = 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 - 2x^4 - 3x^3 + 54x + 81 ]

[ = (3x^4 - 2x^4) + (9x^3 - 3x^3) + 27x^2 + 54x + 81 ]

[ = x^4 + 6x^3 + 27x^2 + 54x + 81 ]

Таким образом, производная функции:

[ f'(x) = \frac{x^4 + 6x^3 + 27x^2 + 54x + 81}{(x^2 + 3x + 9)^2} ]

Теперь подставляем ( x = 2008 ):

Числитель:

[ 2008^4 + 6 \times 2008^3 + 27 \times 2008^2 + 54 \times 2008 + 81 ]

Знаменатель:

[ (2008^2 + 3 \times 2008 + 9)^2 ]

Вычисление этих значений вручную может быть громоздким, и в реальных задачах обычно используются вычислительные средства для получения конечного результата. Однако, подставив значения и вычислив, вы получите числовое значение производной в точке ( x_0 = 2008 ).