Найдите значение выражения: 2 \ (3√5 + 1) - 2 \ (3√5 - 1)

Для того чтобы найти значение данного выражения, сначала преобразуем его.

2 / (3√5 + 1) - 2 / (3√5 - 1) = 2 / (3√5 + 1) - 2 / (3√5 - 1) (3√5 + 1) / (3√5 + 1) = 2 / (3√5 + 1) - 2(3√5 + 1) / (95 - 1) = 2 / (3√5 + 1) - (6√5 + 2) / 14

Теперь найдем общий знаменатель для дробей:

Общий знаменатель для дробей (3√5 + 1) и (14) равен 14(3√5 + 1), поэтому преобразуем выражение:

2 / (3√5 + 1) 14(3√5 + 1) - (6√5 + 2) / 14 3√5 + 1

После раскрытия скобок и упрощения получим:

28 - 6√5 - 2 = 26 - 6√5

Итак, значение выражения 2 / (3√5 + 1) - 2 / (3√5 - 1) равно 26 - 6√5.

Для нахождения значения выражения ( \frac{2}{3\sqrt{5} + 1} - \frac{2}{3\sqrt{5} - 1} ) мы можем воспользоваться методом рационализации знаменателей.

1. Рационализация знаменателей: Для избавления от иррациональности в знаменателях, умножим числитель и знаменатель каждого дробного выражения на сопряженное к его знаменателю. Сопряженное выражение для (3\sqrt{5} + 1) — это (3\sqrt{5} - 1), и для (3\sqrt{5} - 1) — это (3\sqrt{5} + 1).

   Рассмотрим первую дробь ( \frac{2}{3\sqrt{5} + 1} ): [ \frac{2}{3\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{3\sqrt{5} - 1}{3\sqrt{5} - 1} = \frac{2(3\sqrt{5} - 1)}{(3\sqrt{5} + 1)(3\sqrt{5} - 1)} ] Знаменатель ( (3\sqrt{5} + 1)(3\sqrt{5} - 1) ) можно упростить, используя формулу разности квадратов ( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ): [ (3\sqrt{5})^2 - 1^2 = 45 - 1 = 44 ] Таким образом, первая дробь становится: [ \frac{2(3\sqrt{5} - 1)}{44} = \frac{6\sqrt{5} - 2}{44} = \frac{6\sqrt{5}}{44} - \frac{2}{44} = \frac{3\sqrt{5}}{22} - \frac{1}{22} ]

2. Аналогично рационализируем вторую дробь ( \frac{2}{3\sqrt{5} - 1} ): [ \frac{2}{3\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{3\sqrt{5} + 1}{3\sqrt{5} + 1} = \frac{2(3\sqrt{5} + 1)}{(3\sqrt{5} - 1)(3\sqrt{5} + 1)} ] Знаменатель уже был упрощен и равен 44: [ \frac{2(3\sqrt{5} + 1)}{44} = \frac{6\sqrt{5} + 2}{44} = \frac{6\sqrt{5}}{44} + \frac{2}{44} = \frac{3\sqrt{5}}{22} + \frac{1}{22} ]

3. Вычисляем разность двух дробей: [ \left( \frac{3\sqrt{5}}{22} - \frac{1}{22} \right) - \left( \frac{3\sqrt{5}}{22} + \frac{1}{22} \right) ] Внутри выражений с одинаковыми знаменателями мы можем объединить числители: [ \frac{3\sqrt{5} - 1}{22} - \frac{3\sqrt{5} + 1}{22} = \frac{(3\sqrt{5} - 1) - (3\sqrt{5} + 1)}{22} ] Раскрываем скобки: [ \frac{3\sqrt{5} - 1 - 3\sqrt{5} - 1}{22} = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11} ]

Таким образом, значение выражения ( \frac{2}{3\sqrt{5} + 1} - \frac{2}{3\sqrt{5} - 1} ) равно (-\frac{1}{11}).