Найдите значение выражения корень 7 cos a - 1/2 , если sin a= -корень 3/7 , а [90;270]

Для нахождения значения выражения (\sqrt{7} \cos a - \frac{1}{2}) при условии, что (\sin a = -\frac{\sqrt{3}}{7}) и угол (a) находится в интервале ([90^\circ; 270^\circ]), сначала определим значение (\cos a).

1. Используем тождество Пифагора: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ] Подставим значение (\sin a): [ \left(-\frac{\sqrt{3}}{7}\right)^2 + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{3}{49} + \cos^2 a = 1 ] [ \cos^2 a = 1 - \frac{3}{49} ] [ \cos^2 a = \frac{49}{49} - \frac{3}{49} = \frac{46}{49} ]

2. Найдем (\cos a): Поскольку угол (a) находится в диапазоне ([90^\circ; 270^\circ]), (\cos a) будет отрицательным: [ \cos a = -\sqrt{\frac{46}{49}} = -\frac{\sqrt{46}}{7} ]

3. Подставляем значение (\cos a) в выражение: Теперь мы можем найти значение выражения (\sqrt{7} \cos a - \frac{1}{2}): [ \sqrt{7} \cos a - \frac{1}{2} = \sqrt{7} \left(-\frac{\sqrt{46}}{7}\right) - \frac{1}{2} ] [ = -\frac{\sqrt{7} \sqrt{46}}{7} - \frac{1}{2} ] [ = -\frac{\sqrt{322}}{7} - \frac{1}{2} ]

4. Приведем к общему знаменателю: Общий знаменатель для второго члена — 14: [ -\frac{\sqrt{322}}{7} - \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{322}}{7} - \frac{7}{14} = -\frac{\sqrt{322}}{7} - \frac{7}{14} ]

5. Сложим дроби: [ = -\frac{2\sqrt{322}}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{2\sqrt{322} + 7}{14} ]

6. Финальный ответ: Значение выражения (\sqrt{7} \cos a - \frac{1}{2}) равно: [ -\frac{2\sqrt{322} + 7}{14} ]

Таким образом, окончательное значение выражения (\sqrt{7} \cos a - \frac{1}{2}) при заданных условиях равно (-\frac{2\sqrt{322} + 7}{14}).

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Условие

Нам дана тригонометрическая функция (\sin a = -\sqrt{\frac{3}{7}}), и угол (a) находится в интервале ([90^\circ; 270^\circ]), то есть (a) лежит во втором или третьем квадранте. Необходимо найти значение выражения (\sqrt{7} \cos a - \frac{1}{2}).

Шаг 1. Определим (\cos a) с учетом условия

Для тригонометрических функций справедливо основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ]

Подставим значение (\sin a) в это равенство. Напомним, что (\sin a = -\sqrt{\frac{3}{7}}), поэтому (\sin^2 a = \frac{3}{7}). Найдем (\cos^2 a):

[ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}. ]

Теперь найдем (\cos a). Поскольку (\cos^2 a = \frac{4}{7}), то:

[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{4}{7}} = \pm \frac{2}{\sqrt{7}}. ]

Определим знак (\cos a). Угол (a) лежит в интервале ([90^\circ; 270^\circ]):

• во втором квадранте ((90^\circ < a < 180^\circ)) (\cos a < 0),
• в третьем квадранте ((180^\circ < a < 270^\circ)) (\cos a < 0).

Таким образом, (\cos a = -\frac{2}{\sqrt{7}}).

Шаг 2. Подставим (\cos a) в выражение

Теперь подставим значение (\cos a = -\frac{2}{\sqrt{7}}) в выражение (\sqrt{7} \cos a - \frac{1}{2}):

[ \sqrt{7} \cos a - \frac{1}{2} = \sqrt{7} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{7}}\right) - \frac{1}{2}. ]

Упростим первое слагаемое:

[ \sqrt{7} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{7}}\right) = -2. ]

Таким образом, выражение становится:

[ -2 - \frac{1}{2}. ]

Шаг 3. Найдем итоговое значение

Приведем к общему знаменателю:

[ -2 - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}. ]

Ответ:

Значение выражения равно:

[ \boxed{-\frac{5}{2}} ]