Найти для функции f(x)=4x в кубе-2x+3 первоначальную, график которой проходит через точку А(1;-2)

Интегрируем функцию f(x)=4x в кубе-2x+3. Первоначальная функция будет F(x)=x в четвертой степени - x в квадрате + 3x + C. Чтобы найти константу С, подставим координаты точки А(1;-2) и получим уравнение -2 = 1 - 1 + 3 + C. Решив это уравнение, найдем С=-5. Таким образом, первоначальная функция, график которой проходит через точку А(1;-2), будет F(x)=x в четвертой степени - x в квадрате + 3x - 5.

Для нахождения первоначальной функции f(x) необходимо проинтегрировать данную функцию. Для этого найдем первообразную от каждого члена функции f(x)=4x в кубе-2x+3.

Интегрируя каждый член по отдельности, получаем: ∫4x в кубе dx = x в четвертой степени + C1, ∫-2x dx = -x в квадрате + C2, ∫3 dx = 3x + C3.

Где С1, С2, С3 - постоянные интегрирования.

Теперь соберем все полученные выражения вместе, получим первоначальную функцию: F(x) = x в четвертой степени - x в квадрате + 3x + C.

Далее, чтобы найти постоянную С, подставим в уравнение координаты точки А(1;-2): -2 = 1 - 1 + 3*1 + C, -2 = 3 + C, C = -5.

Итак, первоначальная функция, график которой проходит через точку А(1;-2), будет иметь вид: F(x) = x в четвертой степени - x в квадрате + 3x - 5.

Для нахождения первоначальной функции ( F(x) ) для заданной функции ( f(x) = 4x^3 - 2x + 3 ), необходимо выполнить интегрирование функции ( f(x) ).

Шаг 1: Найти неопределённый интеграл функции ( f(x) )

Для начала вычислим неопределённый интеграл функции ( f(x) = 4x^3 - 2x + 3 ):

[ F(x) = \int (4x^3 - 2x + 3) \, dx ]

Рассмотрим интеграл для каждого члена функции по отдельности:

1. ( \int 4x^3 \, dx )
2. ( \int (-2x) \, dx )
3. ( \int 3 \, dx )

Интегрируя каждый член:

1. ( \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 )
2. ( \int (-2x) \, dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2 )
3. ( \int 3 \, dx = 3x )

Суммируем результаты и добавляем константу интегрирования ( C ):

[ F(x) = x^4 - x^2 + 3x + C ]

Шаг 2: Определить значение константы ( C ) с использованием заданной точки ( A(1; -2) )

Нам известно, что график функции ( F(x) ) проходит через точку ( A(1; -2) ), то есть ( F(1) = -2 ). Подставим ( x = 1 ) и ( F(1) = -2 ) в найденное уравнение:

[ -2 = (1)^4 - (1)^2 + 3(1) + C ]

Упрощаем:

[ -2 = 1 - 1 + 3 + C ] [ -2 = 3 + C ] [ C = -2 - 3 ] [ C = -5 ]

Шаг 3: Записать окончательное уравнение первоначальной функции ( F(x) )

Подставляем найденное значение ( C ) в уравнение:

[ F(x) = x^4 - x^2 + 3x - 5 ]

Заключение

Таким образом, первоначальная функция ( F(x) ) для функции ( f(x) = 4x^3 - 2x + 3 ), график которой проходит через точку ( A(1; -2) ), имеет вид:

[ F(x) = x^4 - x^2 + 3x - 5 ]