Найти экстемумы функций F(x)=eX(2x-3)

Для нахождения экстремумов функции F(x) = e^x(2x - 3) необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

F'(x) = e^x(2x - 3) + e^x * 2 = 2e^x(2x - 1)

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума:

2e^x(2x - 1) = 0 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2

Таким образом, точка экстремума функции F(x) находится в точке x = 1/2.

Чтобы определить, является ли данная точка точкой минимума или максимума, можно воспользоваться второй производной:

F''(x) = 4e^x

Так как вторая производная положительна для любого x, то точка x = 1/2 является точкой минимума функции F(x) = e^x(2x - 3).

Для нахождения экстремумов функции F(x)=e^x(2x-3) необходимо взять производную и приравнять её к нулю, затем найти значения x, при которых производная равна нулю.

Для нахождения экстремумов функции ( F(x) = e^x(2x - 3) ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

Функция ( F(x) ) представлена в виде произведения двух функций: ( u(x) = e^x ) и ( v(x) = 2x - 3 ). Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения:

[ F'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Где:

• ( u'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x )
• ( v'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2 )

Подставим в формулу:

[ F'(x) = e^x(2x - 3)' + (e^x)'(2x - 3) = e^x \cdot 2 + e^x(2x - 3) = e^x(2 + 2x - 3) ]

Упростим выражение в скобках:

[ F'(x) = e^x(2x - 1) ]

1. Найти критические точки.

Критические точки находятся из условия ( F'(x) = 0 ):

[ e^x(2x - 1) = 0 ]

Так как ( e^x \neq 0 ) для всех значений ( x ), то уравнение сводится к:

[ 2x - 1 = 0 ]

Решив это уравнение, находим:

[ 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} ]

1. Проверить, являются ли критические точки экстремумами.

Для этого используем второй признак экстремума, основанный на второй производной.

Вычислим вторую производную ( F''(x) ):

[ F''(x) = \frac{d}{dx}[e^x(2x - 1)] ]

Снова применяем правило произведения:

[ F''(x) = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot (2x - 1) + e^x \cdot \frac{d}{dx}(2x - 1) ]

[ F''(x) = e^x(2x - 1) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 1 + 2) = e^x(2x + 1) ]

Подставим критическую точку ( x = \frac{1}{2} ) в ( F''(x) ):

[ F''\left(\frac{1}{2}\right) = e^{1/2}(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) = e^{1/2}(1 + 1) = 2e^{1/2} ]

Так как ( F''\left(\frac{1}{2}\right) > 0 ), то в точке ( x = \frac{1}{2} ) функция имеет локальный минимум.

1. Вывод.

Функция ( F(x) = e^x(2x - 3) ) имеет локальный минимум в точке ( x = \frac{1}{2} ). Значение функции в этой точке:

[ F\left(\frac{1}{2}\right) = e^{1/2}(2 \cdot \frac{1}{2} - 3) = e^{1/2}(1 - 3) = -2e^{1/2} ]

Таким образом, локальный минимум функции ( F(x) ) равен ( -2e^{1/2} ) при ( x = \frac{1}{2} ).