Найти функцию, обратную к функции y=(x-8)^-1

Для того чтобы найти функцию, обратную к функции ( y = (x - 8)^{-1} ), следуй этим шагам:

1. Начни с уравнения функции: [ y = (x - 8)^{-1} ]

2. Вырази ( x ) через ( y ):

   • Перепиши уравнение в более удобной форме: [ y = \frac{1}{x - 8} ]
   • Теперь нужно выразить ( x ) через ( y ). Умножь обе стороны уравнения на ( (x - 8) ): [ y(x - 8) = 1 ]
   • Далее, раздели обе стороны уравнения на ( y ): [ x - 8 = \frac{1}{y} ]
   • Теперь добавь 8 к обеим сторонам уравнения, чтобы выразить ( x ): [ x = \frac{1}{y} + 8 ]

3. Обозначь обратную функцию:

   • Обратная функция ( f^{-1}(y) ) будет равна ( x ), выраженному через ( y ): [ f^{-1}(y) = \frac{1}{y} + 8 ]

4. Переобозначь переменные, чтобы получить стандартное представление обратной функции:

   • Обычно в записи обратной функции вместо ( y ) снова используют ( x ). Таким образом, получаем: [ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 8 ]

Таким образом, функция, обратная к данной функции ( y = (x - 8)^{-1} ), имеет вид:

[ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 8 ]

Проверка

Чтобы убедиться в правильности найденной обратной функции, можно выполнить проверку, подставив ее в исходную функцию и убедившись, что результатом будет тождественная функция.

1. Подставим ( x ) из обратной функции в исходную функцию: [ y = ( \left( \frac{1}{y} + 8 \right) - 8 )^{-1} ] [ y = ( \frac{1}{y} )^{-1} ] [ y = y ]

2. Подставим ( y ) из исходной функции в обратную функцию: [ x = \frac{1}{(x - 8)^{-1}} + 8 ] [ x = (x - 8) + 8 ] [ x = x ]

Обе проверки подтверждают, что найденная обратная функция верна.

Для нахождения обратной функции к функции y=(x-8)^-1 необходимо сначала найти саму обратную функцию. Для этого следует поменять местами переменные x и y и решить уравнение относительно y.

Итак, у нас есть y=(x-8)^-1. Меняем местами x и y: x=(y-8)^-1. Теперь решаем уравнение относительно y:

x=(y-8)^-1 1/x = y-8 1/x + 8 = y

Таким образом, обратная функция к функции y=(x-8)^-1 будет y = 1/x + 8.