Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^4-2x^2+3 на отрезке [-4;3]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x)=x^4-2x^2+3 на отрезке [-4;3] нужно найти критические точки функции внутри данного отрезка, а также значения функции на его концах.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 4x^3 - 4x

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0 4x(x + 1)(x - 1) = 0 x = 0, x = -1, x = 1

3. Найдем значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка [-4;3]: f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^2 + 3 = 256 - 32 + 3 = 227 f(3) = 3^4 - 2(3)^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66 f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3 f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2

4. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-4;3] равно 227, достигается при x = -4, а наименьшее значение равно 2, достигается при x = -1 или x = 1.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 ) на отрезке ([-4; 3]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции ( f(x) ):

[ f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 ] [ f'(x) = 4x^3 - 4x ]

2. Найдём критические точки:

Приравняем производную к нулю: [ f'(x) = 4x^3 - 4x = 0 ] [ 4x(x^2 - 1) = 0 ] [ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 ]

Следовательно, критические точки: [ x = 0, x = 1, x = -1 ]

3. Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

Отрезок ([-4, 3]) включает точки ( x = -4 ), ( x = 3 ), а также критические точки ( x = -1 ), ( x = 0 ), ( x = 1 ).

Вычислим значения функции в этих точках:

• Для ( x = -4 ): [ f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^2 + 3 = 256 - 32 + 3 = 227 ]

• Для ( x = 3 ): [ f(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66 ]

• Для ( x = -1 ): [ f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 ]

• Для ( x = 0 ): [ f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 ]

• Для ( x = 1 ): [ f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 ]

4. Определяем наибольшее и наименьшее значение функции:

• Наибольшее значение функции на отрезке ([-4, 3]) равно ( f(-4) = 227 ).
• Наименьшее значение функции на отрезке ([-4, 3]) равно ( f(-1) = 2 ) (также это значение достигается при ( x = 1 )).

Ответ:

Наибольшее значение функции ( f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 ) на отрезке ([-4; 3]) равно ( 227 ), а наименьшее значение равно ( 2 ).

Наибольшее значение функции на отрезке [-4;3] равно 27, достигается при x = 3. Наименьшее значение функции на отрезке [-4;3] равно -13, достигается при x = -2.