Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=54/3*х^3/2-1/3*х3 на отрезке[1;16]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( y = \frac{54}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^3 ) на отрезке ([1; 16]) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростим функцию: [ y = 18 x^{3/2} - \frac{1}{3} x^3 ]

2. Найдем производную функции: Для нахождения экстремумов функции, найдем её производную: [ y' = \frac{d}{dx}(18 x^{3/2}) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3} x^3\right) ] Используя правила дифференцирования: [ y' = 18 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} - x^2 = 27 x^{1/2} - x^2 ] Упростим: [ y' = 27 \sqrt{x} - x^2 ]

3. Найдем критические точки: Приравняем производную к нулю: [ 27 \sqrt{x} - x^2 = 0 ] Перепишем уравнение: [ x^2 = 27 \sqrt{x} ] Возведем обе стороны в квадрат: [ x^4 = 729 ] Найдем ( x ): [ x = \sqrt[4]{729} = \sqrt[4]{27^2} = 27^{1/2} = 3\sqrt{3} ]

   Проверим, находится ли эта точка в пределах отрезка ([1; 16]): Поскольку (3\sqrt{3} \approx 5.196), она находится в пределах отрезка.

4. Найдем значения функции в критических точках и на границах отрезка: Теперь мы должны вычислить значения функции в точках (x = 1), (x = 16) и (x = 3\sqrt{3}).

   • Для (x = 1): [ y(1) = 18 \cdot 1^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = 18 - \frac{1}{3} = \frac{54}{3} - \frac{1}{3} = \frac{53}{3} \approx 17.67 ]
   • Для (x = 16): [ y(16) = 18 \cdot 16^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 16^3 ] Сначала найдем (16^{3/2} = (16^1)^{3/2} = 64): [ y(16) = 18 \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 4096 = 1152 - \frac{4096}{3} ] Найдем общий знаменатель: [ y(16) = \frac{3456}{3} - \frac{4096}{3} = \frac{-640}{3} \approx -213.33 ]
   • Для (x = 3\sqrt{3}): [ y(3\sqrt{3}) = 18(3\sqrt{3})^{3/2} - \frac{1}{3}(3\sqrt{3})^3 ] Сначала найдем ((3\sqrt{3})^{3/2} = 9\sqrt{3}) и ((3\sqrt{3})^3 = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}): [ y(3\sqrt{3}) = 18 \cdot 9\sqrt{3} - \frac{1}{3} \cdot 81\sqrt{3} = 162\sqrt{3} - 27\sqrt{3} = 135\sqrt{3} \approx 233.65 ]

5. Сравним значения:

   • ( y(1) \approx 17.67 )
   • ( y(16) \approx -213.33 )
   • ( y(3\sqrt{3}) \approx 233.65 )

6. Наибольшее и наименьшее значения: Наибольшее значение функции на отрезке ([1; 16]) равно (135\sqrt{3} \approx 233.65) при (x = 3\sqrt{3}).

   Наименьшее значение функции на отрезке ([1; 16]) равно (-\frac{640}{3} \approx -213.33) при (x = 16).

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([1; 16]) равно (135\sqrt{3}), а наименьшее значение равно (-\frac{640}{3}).

Рассмотрим функцию

[ y = \frac{54}{3} \cdot x^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot x^3 ]

на отрезке ([1; 16]). Требуется найти её наибольшее и наименьшее значения. Для этого идём по следующему плану:

Шаг 1: Упростим функцию

Приведём коэффициенты к более простому виду.

[ y = 18 \cdot x^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot x^3. ]

Шаг 2: Найдём производную функции

Для нахождения экстремумов функции вычислим её первую производную. Используем правила дифференцирования:

[ y' = 18 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{1/2} - \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^2. ]

Упрощаем производную:

[ y' = 27 \cdot x^{1/2} - x^2. ]

Шаг 3: Найдём критические точки

Критические точки функции находятся из уравнения (y' = 0):

[ 27 \cdot x^{1/2} - x^2 = 0. ]

Вынесем общий множитель:

[ x^{1/2} \cdot (27 - x^{3/2}) = 0. ]

Это уравнение равно нулю, если:

1. (x^{1/2} = 0 \Rightarrow x = 0) (не принадлежит отрезку ([1; 16]));
2. (27 - x^{3/2} = 0 \Rightarrow x^{3/2} = 27).

Решаем второе уравнение:

[ x^{3/2} = 27 \quad \Rightarrow \quad x = 27^{2/3}. ]

Вспомним, что (27 = 3^3), поэтому:

[ x = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9. ]

Итак, критическая точка: (x = 9).

Шаг 4: Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке

Функция может достигать наибольшего или наименьшего значения либо в критических точках, либо на границах отрезка. Подставим (x = 1), (x = 16), и (x = 9) в исходную функцию:

1. Для (x = 1): [ y = 18 \cdot 1^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = 18 - \frac{1}{3} = \frac{54}{3} - \frac{1}{3} = \frac{53}{3}. ]

2. Для (x = 9): [ y = 18 \cdot 9^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 9^3. ]

Сначала найдём (9^{3/2}). Это равно:

[ 9^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27. ]

Тогда:

[ y = 18 \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 729 = 486 - 243 = 243. ]

1. Для (x = 16): [ y = 18 \cdot 16^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 16^3. ]

Сначала найдём (16^{3/2}). Это равно:

[ 16^{3/2} = (4^2)^{3/2} = 4^3 = 64. ]

Тогда:

[ y = 18 \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 16^3. ]

Найдём (16^3):

[ 16^3 = 4096. ]

Подставляем:

[ y = 18 \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 4096 = 1152 - \frac{4096}{3} = \frac{3456}{3} - \frac{4096}{3} = \frac{-640}{3}. ]

Шаг 5: Сравним значения

Итак, значения функции:

• Для (x = 1): (y = \frac{53}{3});
• Для (x = 9): (y = 243);
• Для (x = 16): (y = \frac{-640}{3}).

Наибольшее значение: (243) при (x = 9).

Наименьшее значение: (\frac{-640}{3}) при (x = 16).

Ответ:

Наибольшее значение функции: (243) (при (x = 9)).

Наименьшее значение функции: (\frac{-640}{3}) (при (x = 16)).