Найти наименьшее четырехзначное число, которое при делении на 53 дает тот же остаток, что и частное.

Давайте разберем задачу подробно.

Мы ищем наименьшее четырехзначное число, которое при делении на 53 дает один и тот же остаток и частное. То есть число ( N ) должно удовлетворять следующему условию:

[ N = 53 \cdot q + r, ]

где:

• ( q ) — частное,
• ( r ) — остаток,
• ( 0 \leq r < 53 ) (по определению остатка при делении).

При этом, по условию задачи, остаток равен частному, то есть ( q = r ). Подставим это в уравнение:

[ N = 53 \cdot q + q = q \cdot (53 + 1). ]

Таким образом, число ( N ) можно записать как:

[ N = q \cdot 54. ]

Теперь нам нужно найти наименьшее четырехзначное число ( N ), которое можно получить в таком виде. Для этого ( q ) (частное и остаток, совпадающие) должно быть достаточно большим, чтобы ( N ) стало четырехзначным. Решим неравенство:

[ q \cdot 54 \geq 1000. ]

Разделим обе части на 54:

[ q \geq \frac{1000}{54} \approx 18.52. ]

Так как ( q ) должно быть целым числом, берем ближайшее целое значение больше 18.52, то есть ( q = 19 ).

Теперь найдем число ( N ), подставив ( q = 19 ) в формулу:

[ N = 19 \cdot 54 = 1026. ]

Проверим, удовлетворяет ли это число условиям задачи:

• При делении ( 1026 ) на 53: [ 1026 \div 53 = 19 \quad (\text{частное}), ] остаток: [ 1026 - 19 \cdot 53 = 1026 - 1007 = 19. ] Остаток равен частному (( q = r = 19 )).

Следовательно, ( N = 1026 ) — это искомое число.

Ответ:

Наименьшее четырехзначное число, которое при делении на 53 дает тот же остаток, что и частное, равно 1026.

Чтобы найти наименьшее четырехзначное число ( N ), которое при делении на 53 дает тот же остаток, что и частное, запишем это в виде уравнения:

[ N = 53k + r ]

где ( k ) — частное, ( r ) — остаток. Условие задачи означает, что ( r = k ). Подставляем ( r ) в уравнение:

[ N = 53k + k = 54k ]

Теперь нам нужно найти наименьшее четырехзначное число, которое можно записать в виде ( 54k ). Четырехзначное число начинается с 1000, поэтому мы ищем минимальное ( k ):

[ 54k \geq 1000 ] [ k \geq \frac{1000}{54} \approx 18.52 ]

Таким образом, наименьшее целое значение для ( k ) — это 19. Теперь вычислим ( N ):

[ N = 54 \times 19 = 1026 ]

Ответ: наименьшее четырехзначное число, которое при делении на 53 дает тот же остаток, что и частное, равно 1026.

Давайте решим задачу пошагово.

Нам нужно найти наименьшее четырехзначное число ( N ), которое при делении на 53 дает тот же остаток, что и частное. Это можно выразить математически следующим образом:

1. Запишем деление ( N ) на 53 в виде: [ N = 53k + r ] где ( k ) — это частное, а ( r ) — остаток от деления. По определению деления остаток ( r ) должен удовлетворять условию ( 0 \leq r < 53 ).

2. По условию задачи, остаток равен частному, то есть ( r = k ). Таким образом, мы можем переписать уравнение: [ N = 53k + k = 54k ] или [ N = k(54). ]

3. Нам нужно, чтобы ( N ) было четырехзначным числом. Это значит, что ( N ) должно удовлетворять условию: [ 1000 \leq N < 10000. ]

4. Подставим выражение для ( N ): [ 1000 \leq 54k < 10000. ]

5. Разделим все части неравенства на 54: [ \frac{1000}{54} \leq k < \frac{10000}{54}. ]

6. Посчитаем значения: [ \frac{1000}{54} \approx 18.52, ] [ \frac{10000}{54} \approx 185.19. ]

7. Таким образом, ( k ) должно быть целым числом в диапазоне: [ 19 \leq k \leq 185. ]

8. Теперь найдем наименьшее значение ( k ), которое равно 19. Вычислим ( N ): [ N = 54 \cdot 19 = 1026. ]

9. Проверим, что это число действительно четырехзначное и соответствует условию задачи. Вычислим частное и остаток при делении ( 1026 ) на ( 53 ):

   • Частное: [ k = \left\lfloor \frac{1026}{53} \right\rfloor = 19, ]
   • Остаток: [ r = 1026 - 53 \cdot 19 = 1026 - 1007 = 19. ]

10. Таким образом, и частное, и остаток равны 19, что соответствует условию задачи.

Следовательно, наименьшее четырехзначное число, которое при делении на 53 дает тот же остаток, что и частное, равно ( \boxed{1026} ).