Найти область определения функции y = lg(x-4)+lg(20-x)

Чтобы найти область определения функции ( y = \lg(x - 4) + \lg(20 - x) ), необходимо учитывать, что логарифм определен только для положительных аргументов. Это означает, что оба выражения ( x - 4 ) и ( 20 - x ) должны быть больше нуля:

1. Условие для первого логарифма: [ x - 4 > 0 \implies x > 4 ]

2. Условие для второго логарифма: [ 20 - x > 0 \implies x < 20 ]

Теперь объединим оба условия:

• Из первого условия мы имеем ( x > 4 ).
• Из второго условия мы имеем ( x < 20 ).

Таким образом, оба условия совместимы в интервале:

[ 4 < x < 20 ]

В терминах интервалов, область определения функции ( y ) может быть записана как:

[ D(y) = (4, 20) ]

Таким образом, функция ( y = \lg(x - 4) + \lg(20 - x) ) определена для всех ( x ) в интервале от 4 до 20, не включая сами границы интервала.

Чтобы найти область определения функции ( y = \log(x-4) + \log(20-x) ), нужно учитывать, что логарифмическая функция определена только для положительных аргументов. Это значит, что аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля.

Рассмотрим каждый из логарифмов в функции:

1. Первый логарифм: (\log(x-4)): [ x - 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 4. ]

2. Второй логарифм: (\log(20-x)): [ 20 - x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 20. ]

Теперь нужно объединить оба условия, так как результат должен удовлетворять обеим неравенствам одновременно: [ x > 4 \quad \text{и} \quad x < 20. ]

Это означает, что ( x ) должен принадлежать промежутку: [ x \in (4, 20). ]

Однако, есть еще один важный момент: логарифмическая функция требует, чтобы произведение аргументов обоих логарифмов также было положительным, так как в функции ( y = \log(a) + \log(b) ) происходит преобразование в ( y = \log(a \cdot b) ). Следовательно, нужно проверить условие: [ (x-4)(20-x) > 0. ]

Анализ произведения ((x-4)(20-x) > 0):

Произведение двух множителей больше нуля, если оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим знаки каждого множителя на числовой оси:

• ( x-4 > 0 ) при ( x > 4 ),
• ( 20-x > 0 ) при ( x < 20 ).

Рассмотрим промежутки числовой оси:

1. На интервале ( (-\infty, 4) ): ( x-4 < 0 ) и ( 20-x > 0 ), значит ((x-4)(20-x) < 0).
2. На интервале ( (4, 20) ): ( x-4 > 0 ) и ( 20-x > 0 ), значит ((x-4)(20-x) > 0).
3. На интервале ( (20, +\infty) ): ( x-4 > 0 ) и ( 20-x < 0 ), значит ((x-4)(20-x) < 0).

Итак, произведение ((x-4)(20-x)) положительно только на интервале ( (4, 20) ).

Ответ:

Область определения функции ( y = \log(x-4) + \log(20-x) ) — это интервал: [ x \in (4, 20). ]