Найти область значений функции y=x^2+2

Чтобы найти область значений функции ( y = x^2 + 2 ), нужно понять, какие значения может принимать ( y ) при всех возможных значениях ( x ).

1. Анализ функции:
   Функция ( y = x^2 + 2 ) является квадратичной функцией, где ( x^2 ) — это квадрат переменной ( x ), а ( 2 ) — постоянное слагаемое. График этой функции представляет собой параболу, которая открывается вверх, поскольку коэффициент при ( x^2 ) положителен (равен 1).

2. Минимальное значение:
   Поскольку квадрат любого числа ( x^2 ) всегда больше или равен нулю (( x^2 \geq 0 )), минимальное значение, которое может принимать ( x^2 ), равно 0. Следовательно, минимальное значение функции ( y = x^2 + 2 ) достигается, когда ( x = 0 ): [ y_{\text{min}} = 0^2 + 2 = 2 ]

3. Максимальное значение:
   Поскольку ( x^2 ) не имеет верхней границы (может быть сколь угодно большим по мере увеличения абсолютного значения ( x )), функция ( y = x^2 + 2 ) также не имеет верхней границы. То есть, ( y ) может принимать сколь угодно большие значения.

4. Область значений:
   Таким образом, область значений функции ( y = x^2 + 2 ) — это все числа, которые больше или равны 2. В математической записи это выглядит так: [ y \in [2, +\infty) ]

Итак, область значений функции ( y = x^2 + 2 ) — это все числа от 2 до плюс бесконечности.

Функция y=x^2+2 определена для всех действительных чисел x, так как любое действительное число можно возвести в квадрат и добавить 2. Следовательно, область значений функции y=x^2+2 - все действительные числа y, которые могут быть получены при подстановке любого действительного числа x.

Область значений функции y=x^2+2 - это все действительные числа больше или равные 2.