Найти пересечение и объединение множеств: А=[1;7],В=[2;5]

Для решения задачи найдем пересечение и объединение двух заданных множеств ( A = [1;7] ) и ( B = [2;5] ).

1. Пересечение множеств

Пересечение двух множеств — это множество элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам. Геометрически это интервал, где пересекаются ( A ) и ( B ).

Множество ( A ) задано как ( [1;7] ), то есть все числа на числовой прямой от 1 до 7 включительно.

Множество ( B ) задано как ( [2;5] ), то есть все числа на числовой прямой от 2 до 5 включительно.

Чтобы найти пересечение ( A \cap B ), нужно определить общую часть интервалов:

1. Левая граница пересечения равна максимальному из начальных значений интервалов ( A ) и ( B ): ( \max(1, 2) = 2 ).
2. Правая граница пересечения равна минимальному из конечных значений интервалов ( A ) и ( B ): ( \min(7, 5) = 5 ).

Таким образом, пересечение множеств: [ A \cap B = [2;5]. ]

2. Объединение множеств

Объединение двух множеств — это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из них. Геометрически это интервал, покрывающий оба множества.

Чтобы найти объединение ( A \cup B ), нужно определить минимальную начальную точку и максимальную конечную точку интервалов ( A ) и ( B ):

1. Левая граница объединения равна минимальному из начальных значений интервалов ( A ) и ( B ): ( \min(1, 2) = 1 ).
2. Правая граница объединения равна максимальному из конечных значений интервалов ( A ) и ( B ): ( \max(7, 5) = 7 ).

Таким образом, объединение множеств: [ A \cup B = [1;7]. ]

Итог:

• Пересечение множеств: ( A \cap B = [2;5] ).
• Объединение множеств: ( A \cup B = [1;7] ).

Чтобы найти пересечение и объединение множеств ( A ) и ( B ), сначала необходимо определить, что представляют собой эти множества.

Множество ( A = [1; 7] ) — это отрезок чисел от 1 до 7, включительно. То есть, ( A ) содержит все числа ( x ), такие что ( 1 \leq x \leq 7 ).

Множество ( B = [2; 5] ) — это отрезок чисел от 2 до 5, включительно. То есть, ( B ) содержит все числа ( y ), такие что ( 2 \leq y \leq 5 ).

1. Пересечение множеств ( A ) и ( B )

Пересечение ( A \cap B ) — это множество всех элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам.

Для нашего случая:

• Минимальное значение для ( A ) — это 1, а для ( B ) — 2. Следовательно, минимальное значение пересечения будет 2.
• Максимальное значение для ( A ) — это 7, а для ( B ) — 5. Следовательно, максимальное значение пересечения будет 5.

Таким образом, пересечение множеств ( A ) и ( B ) будет:

[ A \cap B = [2; 5] ]

2. Объединение множеств ( A ) и ( B )

Объединение ( A \cup B ) — это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.

Для нашего случая:

• Минимальное значение объединения будет минимальным из минимальных значений ( A ) и ( B ), то есть 1.
• Максимальное значение объединения будет максимальным из максимальных значений ( A ) и ( B ), то есть 7.

Таким образом, объединение множеств ( A ) и ( B ) будет:

[ A \cup B = [1; 7] ]

Результаты

• Пересечение: ( A \cap B = [2; 5] )
• Объединение: ( A \cup B = [1; 7] )

Эти операции позволяют понять, как два множества пересекаются и как они объединяются, что является основой для работы с множествами в алгебре.