Найти площадь фигуры, ограниченной параболой У=х^2 и прямыми х=0, х=4, у=0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y=x^2 и прямыми x=0, x=4, y=0, необходимо провести графическое представление данной области. Площадь фигуры можно найти путем вычисления определенного интеграла от функции y=x^2, ограниченного прямыми x=0 и x=4.

Итак, для нахождения площади S необходимо вычислить определенный интеграл от x=0 до x=4 функции y=x^2: S = ∫[0,4] x^2 dx

После вычисления данного интеграла получим площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2 и прямыми x=0, x=4, y=0.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = x^2 ), прямыми ( x = 0 ), ( x = 4 ), и ( y = 0 ), мы можем воспользоваться методом интегрирования.

1. Определение границ интегрирования:

   • Парабола ( y = x^2 ) и прямая ( y = 0 ) (ось абсцисс) задают нижнюю и верхнюю границу фигуры.
   • Прямые ( x = 0 ) и ( x = 4 ) задают вертикальные границы.

2. Запись интеграла: Площадь между графиком функции ( y = x^2 ) и осью ( x ) от ( x = 0 ) до ( x = 4 ) описывается интегралом: [ A = \int_{0}^{4} x^2 \, dx. ]

3. Вычисление интеграла: Вычислим этот интеграл: [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C, ] где ( C ) — константа интегрирования, которая нам не понадобится, так как мы вычисляем определённый интеграл.

4. Подстановка пределов интегрирования: Подставим пределы интегрирования в первообразную: [ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3}. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми и прямыми, равна (\frac{64}{3}) квадратных единиц.