Найти производную функции f(х)=cos(log2 x)

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \cos(\log_2 x) ), воспользуемся правилами дифференцирования для сложных функций и логарифмов. Разберём процесс пошагово.

1. Представим функцию в удобной форме:

   ( f(x) = \cos(\log_2 x) )

2. Введём промежуточную переменную:

   Пусть ( u = \log_2 x ). Тогда функция ( f ) принимает вид: [ f(x) = \cos(u) ] где ( u = \log_2 x ).

3. Найдём производную ( \frac{df}{du} ):

   Производная функции ( \cos(u) ) по переменной ( u ) равна: [ \frac{d}{du} \cos(u) = -\sin(u) ] Таким образом: [ \frac{df}{du} = -\sin(u) ]

4. Найдём производную ( \frac{du}{dx} ):

   ( u ) — это ( \log_2 x ). Для нахождения производной логарифма по основанию 2 воспользуемся изменением основания логарифма: [ \log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2} ] где ( \ln x ) — натуральный логарифм. Производная ( \ln x ) по ( x ) равна ( \frac{1}{x} ). Поэтому: [ \frac{d}{dx} \log_2 x = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{\ln 2} \right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln 2} ] Таким образом: [ \frac{du}{dx} = \frac{1}{x \ln 2} ]

5. Используем правило цепочки:

   Теперь, чтобы найти производную ( \frac{df}{dx} ), воспользуемся правилом цепочки, которое гласит: [ \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} ] Подставим найденные значения: [ \frac{df}{dx} = (-\sin(u)) \cdot \left( \frac{1}{x \ln 2} \right) ]

6. Вернёмся к исходной переменной:

   Напомним, что ( u = \log_2 x ). Поэтому: [ \sin(u) = \sin(\log_2 x) ] Подставим это значение в выражение для производной: [ \frac{df}{dx} = -\sin(\log_2 x) \cdot \frac{1}{x \ln 2} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \cos(\log_2 x) ) равна: [ f'(x) = \frac{d}{dx} \cos(\log_2 x) = -\frac{\sin(\log_2 x)}{x \ln 2} ]

Для нахождения производной функции f(x) = cos(log2 x) необходимо применить цепное правило дифференцирования. Сначала найдем производную внутренней функции u = log2 x:

u' = 1 / (x * ln 2).

Теперь найдем производную внешней функции f(u) = cos(u):

f'(u) = -sin(u).

Используя цепное правило, получаем:

f'(x) = -sin(log2 x) 1 / (x ln 2) = -sin(log2 x) / (x * ln 2).

Таким образом, производная функции f(x) = cos(log2 x) равна -sin(log2 x) / (x * ln 2).

f'(x) = -sin(log2 x) * (1/x) = -sin(log2 x) / x