Найти производную от корня из (2х-1)

Конечно! Для того чтобы найти производную от функции ( f(x) = \sqrt{2x - 1} ), воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций, а также основными правилами дифференцирования.

1. Перепишем функцию в удобной форме:

   [ f(x) = \sqrt{2x - 1} = (2x - 1)^{\frac{1}{2}} ]

2. Применим правило дифференцирования степенной функции:

   Если ( g(x) = x^n ), то его производная ( g'(x) = n x^{n-1} ).

3. Применим цепное правило:

   Если ( f(x) = h(g(x)) ), то ( f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) ).

   В нашем случае ( h(u) = u^{\frac{1}{2}} ) и ( g(x) = 2x - 1 ).

4. Найдем производную внешней функции ( h(u) ):

   [ h(u) = u^{\frac{1}{2}} \Rightarrow h'(u) = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} ]

5. Найдем производную внутренней функции ( g(x) ):

   [ g(x) = 2x - 1 \Rightarrow g'(x) = 2 ]

6. Применим цепное правило:

   [ f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) ]

   Подставим ( g(x) = 2x - 1 ) и ( g'(x) = 2 ):

   [ f'(x) = \frac{1}{2} (2x - 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 ]

7. Упростим выражение:

   [ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2x - 1)^{-\frac{1}{2}} = (2x - 1)^{-\frac{1}{2}} ]

8. Перепишем результат в более привычной форме:

   [ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \sqrt{2x - 1} ) равна:

[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}} ]

Это окончательный ответ.

Для нахождения производной функции, корень которой равен sqrt(2x-1), сначала нужно выразить эту функцию как f(x) = (2x-1)^(1/2). Затем используем правило дифференцирования сложной функции (chain rule), которое гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) на производную внутренней функции g'(x).

Производная функции f(x) = (2x-1)^(1/2) будет равна f'(x) = (1/2)(2x-1)^(-1/2)(2) = (2)/(2(2x-1)^(1/2)) = 1/(2(2x-1)^(1/2)).

Таким образом, производная функции sqrt(2x-1) равна 1/(2(sqrt(2x-1))).