Найти промежутки возрастания (убывания) функции y=2x^3+9x^2-24x. Помогите пожалуйста

Для нахождения промежутков возрастания (убывания) функции y=2x^3+9x^2-24x необходимо найти производную функции и найти ее корни. После этого можно сделать знаковую таблицу производной и определить промежутки возрастания (убывания) функции.

Конечно, давайте разберем, как найти промежутки возрастания и убывания функции ( y = 2x^3 + 9x^2 - 24x ).

1. Найдем первую производную функции: Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, сначала найдем первую производную функции ( y ): [ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 - 24x) ] Используя правила дифференцирования, получаем: [ y' = 6x^2 + 18x - 24 ]

2. Найдем критические точки: Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Найдем значения ( x ), при которых ( y' = 0 ): [ 6x^2 + 18x - 24 = 0 ] Поделим уравнение на 6 для упрощения: [ x^2 + 3x - 4 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} ] Отсюда получаем два корня: [ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 ] [ x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 ]

3. Определим знаки первой производной на промежутках: Теперь рассмотрим знаки первой производной на промежутках, разделенных критическими точками ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -4 ). Эти промежутки: ( (-\infty, -4) ), ( (-4, 1) ) и ( (1, +\infty) ).

   Выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в первую производную ( y' ):

   • Для промежутка ( (-\infty, -4) ) возьмем точку ( x = -5 ): [ y'(-5) = 6(-5)^2 + 18(-5) - 24 = 6 \cdot 25 - 90 - 24 = 150 - 90 - 24 = 36 \quad (\text{положительно}) ]
   • Для промежутка ( (-4, 1) ) возьмем точку ( x = 0 ): [ y'(0) = 6(0)^2 + 18(0) - 24 = -24 \quad (\text{отрицательно}) ]
   • Для промежутка ( (1, +\infty) ) возьмем точку ( x = 2 ): [ y'(2) = 6(2)^2 + 18(2) - 24 = 6 \cdot 4 + 36 - 24 = 24 + 36 - 24 = 36 \quad (\text{положительно}) ]

4. Определим промежутки возрастания и убывания:

   • На промежутке ( (-\infty, -4) ) функция возрастает, так как ( y' > 0 ).
   • На промежутке ( (-4, 1) ) функция убывает, так как ( y' < 0 ).
   • На промежутке ( (1, +\infty) ) функция снова возрастает, так как ( y' > 0 ).

Итак, функция ( y = 2x^3 + 9x^2 - 24x ) возрастает на промежутках ( (-\infty, -4) ) и ( (1, +\infty) ), и убывает на промежутке ( (-4, 1) ).

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y=2x^3+9x^2-24x, нужно найти производную этой функции. Производная функции f(x) равна f'(x) = 6x^2 + 18x - 24.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 6x^2 + 18x - 24 = 0. Решив это уравнение, получим x = -2 и x = 2.

Теперь можем построить таблицу знаков производной: x < -2: f'(x) < 0 -2 < x < 2: f'(x) > 0 x > 2: f'(x) < 0

Из этой таблицы видно, что функция возрастает на интервале (-бесконечность, -2) объединенном с (2, +бесконечность), и убывает на интервале (-2, 2).

Таким образом, промежутки возрастания функции y=2x^3+9x^2-24x: (-бесконечность, -2) объединенный с (2, +бесконечность), промежутки убывания: (-2, 2).