Найти точки графика функции y=f(x), в которых касательная к нему имеет заданный угловой коэффицент k:...

Для нахождения точек графика функции ( y = f(x) ), в которых касательная к нему имеет заданный угловой коэффициент ( k ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции ( f(x) ), которая дает угловой коэффициент касательной в любой точке ( x ).
2. Решить уравнение ( f'(x) = k ) для нахождения точек ( x ), где угловой коэффициент касательной равен ( k ).
3. Найти соответствующие значения ( y ), подставив найденные ( x ) в исходную функцию ( f(x) ).

Рассмотрим оба примера по отдельности.

Пример a

Функция: ( f(x) = x^2 + x ) Заданный угловой коэффициент: ( k = 3 )

1. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x) = 2x + 1 ]

2. Решаем уравнение для нахождения ( x ): [ 2x + 1 = 3 ] [ 2x = 2 ] [ x = 1 ]

3. Найдем значение ( y ) при ( x = 1 ): [ y = f(1) = 1^2 + 1 = 2 ]

Таким образом, точка графика функции ( f(x) = x^2 + x ), в которой касательная имеет угловой коэффициент 3, это точка ( (1, 2) ).

Пример б

Функция: ( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x ) Заданный угловой коэффициент: ( k = 1 )

1. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x\right) = x^2 + 2x - 2 ]

2. Решаем уравнение для нахождения ( x ): [ x^2 + 2x - 2 = 1 ] [ x^2 + 2x - 3 = 0 ]

   Решаем квадратное уравнение: [ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0 ] [ x = -3 \quad \text{или} \quad x = 1 ]

3. Найдем значение ( y ) при ( x = -3 ) и ( x = 1 ):

   При ( x = -3 ): [ y = f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 2(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 6 = -9 + 9 + 6 = 6 ] Точка: ( (-3, 6) )

   При ( x = 1 ): [ y = f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 2(1) = \frac{1}{3}(1) + 1 - 2 = \frac{1}{3} + 1 - 2 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} ] Точка: ( (1, -\frac{2}{3}) )

Таким образом, точки графика функции ( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x ), в которых касательная имеет угловой коэффициент 1, это точки ( (-3, 6) ) и ( (1, -\frac{2}{3}) ).

a) Для нахождения точек графика функции, в которых касательная имеет угловой коэффициент k=3, необходимо найти производную функции f(x) и приравнять ее к данному значению k.

f'(x) = 2x + 1

Теперь приравняем f'(x) к k=3:

2x + 1 = 3

2x = 2

x = 1

Таким образом, точка графика функции f(x)=x^2+x, в которой касательная имеет угловой коэффициент k=3, это точка (1, 2).

б) Аналогично, для функции f(x) =1/3x^3+x^2-2x и углового коэффициента k=1:

f'(x) = x^2 + 2x - 2

x^2 + 2x - 2 = 1

x^2 + 2x - 3 = 0

(x+3)(x-1) = 0

x = -3, x = 1

Таким образом, точки графика функции f(x) =1/3x^3+x^2-2x, в которых касательная имеет угловой коэффициент k=1, это точки (-3, -8) и (1, 0).