Найти точку пересечения касательной к графику функции y=x^4+3x-1 в точке M(1;3) с осью X.

Чтобы найти точку пересечения касательной к графику функции y=x^4+3x-1 в точке M(1;3) с осью X, мы должны сначала найти уравнение касательной в точке M. Для этого найдем производную данной функции:

y=x^4+3x-1

y' = 4x^3 + 3

Теперь найдем значение производной в точке M(1;3):

y'(1) = 4*1^3 + 3 = 4 + 3 = 7

Таким образом, уравнение касательной в точке M(1;3) имеет вид:

y = 7x - 4

Далее, чтобы найти точку пересечения касательной с осью X, приравняем y к 0:

0 = 7x - 4

7x = 4

x = 4/7

Таким образом, точка пересечения касательной к графику функции y=x^4+3x-1 в точке M(1;3) с осью X имеет координаты (4/7; 0).

Для того чтобы найти точку пересечения касательной к графику функции ( y = x^4 + 3x - 1 ) в точке ( M(1, 3) ) с осью X, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найдем производную функции ( y = x^4 + 3x - 1 ). Производная будет: [ y' = 4x^3 + 3. ]

2. Вычислим значение производной в точке ( x = 1 ): [ y'(1) = 4 \cdot 1^3 + 3 = 4 + 3 = 7. ] Это значение является угловым коэффициентом касательной в точке ( M(1, 3) ).

3. Составим уравнение касательной, используя точку ( M(1, 3) ) и найденный угловой коэффициент. Уравнение касательной будет иметь вид: [ y - y_1 = m(x - x_1), ] где ( m = 7 ), ( x_1 = 1 ), ( y_1 = 3 ). Подставляя эти значения, получаем: [ y - 3 = 7(x - 1). ] Упростим это уравнение: [ y = 7x - 7 + 3 = 7x - 4. ]

4. Найдем точку пересечения касательной с осью X. Для этого приравняем ( y ) к нулю и найдем ( x ): [ 0 = 7x - 4 \implies 7x = 4 \implies x = \frac{4}{7}. ]

Таким образом, касательная к графику функции ( y = x^4 + 3x - 1 ) в точке ( M(1, 3) ) пересекает ось X в точке (\left(\frac{4}{7}, 0\right)).