Найти вектор d,если он перпендикулярен к векторам a={2;3;-1} , b={1,-2,3} и удовлетворяет условие(d,c)=-6,...

Чтобы найти вектор ( \mathbf{d} ), который перпендикулярен векторам ( \mathbf{a} = {2, 3, -1} ) и ( \mathbf{b} = {1, -2, 3} ), мы можем воспользоваться векторным произведением этих векторов. Векторное произведение двух векторов даёт вектор, который ортогонален обоим исходным векторам.

Векторное произведение ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) вычисляется следующим образом:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 3 & -1 \ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} ]

Раскроем этот определитель:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(3 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) ]

[ = \mathbf{i}(9 - 2) - \mathbf{j}(6 + 1) + \mathbf{k}(-4 - 3) ]

[ = \mathbf{i}(7) - \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-7) ]

Таким образом, векторное произведение:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = {7, -7, -7} ]

Теперь у нас есть вектор ( \mathbf{d} ) в виде ( k \cdot {7, -7, -7} ), где ( k ) — некоторая константа. Чтобы найти конкретное значение ( k ), используем условие, что скалярное произведение ( (\mathbf{d}, \mathbf{c}) = -6 ), где ( \mathbf{c} = {2, -1, 1} ).

Запишем это скалярное произведение:

[ (k \cdot {7, -7, -7}) \cdot {2, -1, 1} = k(7 \cdot 2 + (-7) \cdot (-1) + (-7) \cdot 1) ]

[ = k(14 + 7 - 7) ]

[ = k \cdot 14 = -6 ]

Теперь найдём ( k ):

[ k \cdot 14 = -6 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7} ]

Следовательно, вектор ( \mathbf{d} ) равен:

[ \mathbf{d} = -\frac{3}{7} \cdot {7, -7, -7} = {-3, 3, 3} ]

Таким образом, искомый вектор ( \mathbf{d} ) равен ({-3, 3, 3}).

Для того чтобы найти вектор d, который перпендикулярен к векторам a и b, необходимо найти их векторное произведение. Векторное произведение векторов a и b равно: a x b = (2;3;-1) x (1;-2;3) = [(3(-1) - (-21));((-11) - (23));(23 - 13)] = (-5;-7;3)

Полученный вектор (-5;-7;3) является перпендикулярным к векторам a и b.

Теперь рассмотрим условие (d,c) = -6, где c=(2;-1;1). В данном случае (d,c) - это скалярное произведение двух векторов d и c.

Так как вектор d должен быть перпендикулярен к вектору c, то скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0. Поэтому (d,c) = 0.

Из условия (d,c) = -6 следует, что вектор d не существует, который одновременно является перпендикулярным к векторам a и b, и удовлетворяет условию (d,c) = -6.

Таким образом, в данном случае решение не существует.

Вектор d={-3;0;-4}