Найти все значения корня 4 степени из -1 (комплексные числа)

Чтобы найти все значения корня четвёртой степени из -1 в комплексных числах, нужно воспользоваться представлением числа в комплексной плоскости и формулой корней из комплексного числа.

Число -1 можно представить в комплексной форме как ( -1 + 0i ). В тригонометрической форме это число имеет модуль 1 (поскольку (|-1| = 1)) и аргумент (\pi) (так как оно лежит на отрицательной части действительной оси). Таким образом, в тригонометрической форме оно записывается как:

[ -1 = 1 \cdot (\cos \pi + i \sin \pi) ]

Чтобы найти корни четвёртой степени из -1, применим формулу для извлечения корней из комплексного числа:

[ z_k = \sqrt[4]{r} \left( \cos \frac{\theta + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) ]

где ( r ) — модуль числа (в нашем случае 1), (\theta) — аргумент числа, ( n ) — степень корня (в нашем случае 4), а ( k = 0, 1, 2, 3 ).

Поскольку модуль равен 1, (\sqrt[4]{r} = 1). Аргумент (\theta = \pi), поэтому формула принимает вид:

[ z_k = \cos \frac{\pi + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{4} ]

Теперь вычислим значения для каждого ( k ):

1. Для ( k = 0 ): [ z_0 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} ]

2. Для ( k = 1 ): [ z_1 = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} ]

3. Для ( k = 2 ): [ z_2 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} ]

4. Для ( k = 3 ): [ z_3 = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, все значения корня четвёртой степени из -1 в комплексных числах — это:

[ z_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad z_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad z_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Корень четвертой степени из -1 (обозначается как √⁴-1) можно найти, используя формулу для вычисления корней n-ой степени из комплексного числа:

z = r^(1/n) (cos(θ + 2πk)/n + isin(θ + 2πk)/n),

где r - модуль комплексного числа, θ - аргумент комплексного числа, n - степень корня, k - целое число от 0 до n-1.

Для числа -1 модуль r равен 1, аргумент θ равен π (так как -1 находится на оси x с углом 180°). Таким образом, мы можем записать комплексное число -1 в полярной форме как 1 (cos(π) + isin(π)).

Теперь подставим значения в формулу для нахождения корня четвертой степени из -1:

√⁴-1 = 1^(1/4) (cos(π/4 + 2πk)/4 + isin(π/4 + 2πk)/4),

где k = 0, 1, 2, 3.

Решив эту формулу для каждого значения k, получим четыре корня четвертой степени из -1:

√⁴-1 = cos(π/4)/2 + isin(π/4)/2, √⁴-1 = cos(5π/4)/2 + isin(5π/4)/2, √⁴-1 = cos(9π/4)/2 + isin(9π/4)/2, √⁴-1 = cos(13π/4)/2 + isin(13π/4)/2.

Таким образом, все значения корня четвертой степени из -1 равны:

√⁴-1 = (1 + i)/√2, √⁴-1 = (-1 - i)/√2, √⁴-1 = (-1 + i)/√2, √⁴-1 = (1 - i)/√2.