Напишите уравнение касательной к графику функции F(x)=x^2-2x-3 в точке с абсциссой х0=2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( F(x) = x^2 - 2x - 3 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 2 ), нам необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти значение функции в точке ( x_0 = 2 ).

   Подставим ( x_0 = 2 ) в уравнение функции: [ F(2) = 2^2 - 2 \times 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 ] Таким образом, точка на графике функции имеет координаты ( (2, -3) ).

2. Найти производную функции ( F(x) ).

   Производная ( F(x) ) определяет наклон касательной к графику функции в любой точке. В данном случае: [ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x - 3) = 2x - 2 ]

3. Найти значение производной в точке ( x_0 = 2 ) для получения углового коэффициента касательной.

   Подставим ( x_0 = 2 ) в производную: [ F'(2) = 2 \times 2 - 2 = 4 - 2 = 2 ] Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 2.

4. Записать уравнение касательной в точке ( x_0 = 2 ).

   Уравнение прямой в общем виде можно записать как ( y = mx + b ), где ( m ) — угловой коэффициент, а ( b ) — точка пересечения с осью ( y ). Мы уже нашли ( m = 2 ).

   Подставим в уравнение касательной известные координаты точки пересечения ( (2, -3) ): [ y = 2x + b ] [ -3 = 2 \times 2 + b ] [ -3 = 4 + b ] [ b = -3 - 4 = -7 ]

   Таким образом, уравнение касательной имеет вид: [ y = 2x - 7 ]

Это уравнение касательной к графику функции ( F(x) = x^2 - 2x - 3 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 2 ).

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, необходимо найти производную функции в этой точке.

Имеем функцию F(x) = x^2 - 2x - 3.

Найдем производную функции F'(x) = 2x - 2.

Теперь найдем значение производной в точке x0 = 2: F'(2) = 2*2 - 2 = 2.

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х0 = 2 равен 2.

Теперь найдем значение функции в данной точке: F(2) = 2^2 - 2*2 - 3 = 1.

Итак, у нас есть точка (2, 1) и угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке равен 2.

Уравнение касательной имеет вид y - y0 = k(x - x0), где (x0, y0) - координаты точки, k - угловой коэффициент.

Подставим значения: y - 1 = 2(x - 2).

Раскроем скобки: y - 1 = 2x - 4.

Преобразуем уравнение: y = 2x - 3.

Итак, уравнение касательной к графику функции F(x) = x^2 - 2x - 3 в точке с абсциссой x0 = 2 равно y = 2x - 3.