Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+x^2-2x+1 в точке с абсциссой x0=-1

Уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+x^2-2x+1 в точке с абсциссой x0=-1: y=-2x-1.

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нужно найти производную этой функции и подставить значение абсциссы точки в нее.

f'(x) = 3x^2 + 2x - 2

Подставляем x0 = -1 в производную:

f'(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 2 f'(-1) = 3 - 2 - 2 f'(-1) = -1

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке x0 = -1 равен -1. Теперь найдем значение функции в этой точке:

f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 2*(-1) + 1 f(-1) = -1 + 1 + 2 + 1 f(-1) = 3

Теперь мы знаем координаты точки (-1, 3) и угловой коэффициент касательной -1. Уравнение касательной имеет вид:

y - y0 = k(x - x0) y - 3 = -1(x + 1) y - 3 = -x - 1 y = -x + 2

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 1 в точке с абсциссой x0 = -1 имеет вид y = -x + 2.

Чтобы написать уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим функцию ( f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 1 ) и точку с абсциссой ( x_0 = -1 ).

1. Найдем значение функции в точке ( x_0 ): [ f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 + 1 + 2 + 1 = 3. ] Таким образом, точка на графике функции, через которую проходит касательная, имеет координаты ((-1, 3)).

2. Вычислим производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - 2x + 1) = 3x^2 + 2x - 2. ]

3. Найдем значение производной в точке ( x_0 ): [ f'(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 2 = 3 - 2 - 2 = -1. ] Значение производной в точке ( x_0 = -1 ) равно (-1). Это значение является угловым коэффициентом касательной в данной точке.

4. Запишем уравнение касательной: Уравнение касательной к графику функции в точке ( (x_0, f(x_0)) ) можно записать по формуле: [ y - y_1 = m(x - x_1), ] где ( m ) — угловой коэффициент касательной, ( (x_1, y_1) ) — точка касания. Подставляя наши значения, получаем: [ y - 3 = -1(x + 1). ] Упрощаем уравнение: [ y - 3 = -x - 1, ] [ y = -x + 2. ]

Итак, уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 1 ) в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ) имеет вид: [ y = -x + 2. ]