Народ решите но подробно (sinx-1)(2cos+1)/корен tgx=0

Задача состоит в решении уравнения: [ \frac{( \sin x - 1)(2 \cos x + 1)}{\sqrt{\tan x}} = 0 ]

Для начала рассмотрим числитель выражения, так как если числитель дроби равен нулю, то вся дробь равна нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Числитель: (( \sin x - 1)(2 \cos x + 1) = 0)

Разложим на множители:

1. (\sin x - 1 = 0)
2. (2 \cos x + 1 = 0)

Решение (\sin x - 1 = 0)

[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Решение (2 \cos x + 1 = 0)

[ 2 \cos x = -1 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \text{ или } x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Знаменатель: (\sqrt{\tan x})

Знаменатель должен быть определён и не равен нулю. Тангенс не определён и равен нулю, когда: [ \tan x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ] Тангенс не определен, когда косинус равен нулю: [ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Итоговые решения уравнения:

• (x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k) (при условии, что (k) выбрано так, чтобы (\tan(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) был определён и не равен нулю)
• (x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) и (x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k) (при условии, что (k) выбрано так, чтобы (\tan(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k)) и (\tan(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k)) были определены и не равны нулю)

Эти решения должны быть проверены на соответствие условиям действительности тангенса (тангенс должен быть неотрицательным и определенным, чтобы корень из тангенса также был определен в реальных числах).

Для начала, раскроем скобки в выражении (sinx-1)(2cosx+1):

(sin x - 1)(2cos x + 1) = 2sin x cos x + sin x - 2cos x - 1

Теперь поделим полученное выражение на корень из tangens x:

(2sin x cos x + sin x - 2cos x - 1) / sqrt(tan x) = 0

Теперь решим уравнение:

2sin x cos x + sin x - 2cos x - 1 = 0

Далее можно воспользоваться тригонометрическими тождествами:

2sin x cos x = sin 2x sin x = sin x -2cos x = -2cos x

Подставим в уравнение:

sin 2x + sin x - 2cos x - 1 = 0

Теперь можно использовать тригонометрические тождества для упрощения уравнения и решения его.

Для решения данного уравнения необходимо найти все значения x, при которых выражение равно нулю.

1. Первым шагом упростим выражение: (sinx-1)(2cosx+1)/√(tgx) = 0

2. Разложим выражение на множители: (sinx-1)(2cosx+1) = 0

3. Найдем значения x, при которых каждый из множителей равен нулю:

   • sinx - 1 = 0 => sinx = 1 => x = π/2 + 2πn, где n - целое число
   • 2cosx + 1 = 0 => cosx = -1/2 => x = 2π/3 + 2πn, x = 4π/3 + 2πn, где n - целое число

Итак, решения уравнения: x = π/2 + 2πn, x = 2π/3 + 2πn, x = 4π/3 + 2πn.