. Не выполняя деления, найти остаток от деления многочлена 2x4 − x3 − 2x2 + 3x на двучлен (x − 1).
. Не выполняя деления, найти остаток от деления многочлена 2x4 − x3 − 2x2 + 3x на двучлен (x − 1).
Для нахождения остатка от деления многочлена на двучлен (x - 1) можно воспользоваться теоремой о делении многочленов. Для этого нужно разделить старший коэффициент многочлена на старший коэффициент двучлена, получив первый член остатка. Затем умножить двучлен на первый член остатка и вычесть полученное произведение из исходного многочлена. Повторяя эти действия для оставшихся членов многочлена, получим остаток от деления.
Итак, у нас есть многочлен 2x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x и двучлен (x - 1). Старший коэффициент многочлена равен 2, старший коэффициент двучлена равен 1. Поэтому первый член остатка будет 2x^3.
Произведение двучлена (x - 1) на первый член остатка 2x^3 равно 2x^4 - 2x^3. Вычитаем это из исходного многочлена:
(2x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x) - (2x^4 - 2x^3) = x^3 - 2x^2 + 3x
Теперь повторяем процесс для полученного многочлена x^3 - 2x^2 + 3x. Старший коэффициент равен 1, поэтому второй член остатка будет x^2. Продолжая вычисления, мы получим остаток от деления многочлена 2x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x на двучлен (x - 1):
Остаток: x^2 + 4x
Для того чтобы найти остаток от деления многочлена (2x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x) на двучлен ((x - 1)), можно воспользоваться теоремой Безу. Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена (f(x)) на двучлен вида ((x - a)) равен (f(a)).
В данном случае, (f(x) = 2x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x) и (a = 1). Чтобы найти остаток, нужно подставить (x = 1) в многочлен (f(x)):
[f(1) = 2(1)^4 - (1)^3 - 2(1)^2 + 3(1)]
Теперь вычислим каждое слагаемое:
Подставим эти значения в выражение:
[f(1) = 2 - 1 - 2 + 3]
Теперь выполним арифметические действия:
[2 - 1 = 1] [1 - 2 = -1] [-1 + 3 = 2]
Таким образом, остаток от деления многочлена (2x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x) на двучлен ((x - 1)) равен 2.
