Одна из диагоналей параллелограмма больше другой диагонали на 5 см. найдите длину меньшей диагонали,...

Рассмотрим задачу о нахождении длин диагоналей параллелограмма.

Обозначим длину одной из диагоналей параллелограмма через ( d_1 ), а длину другой диагонали через ( d_2 ). По условию задачи, одна диагональ больше другой на 5 см, то есть ( d_1 = d_2 + 5 ).

Также известно, что произведение диагоналей равно 36 см²:

[ d_1 \cdot d_2 = 36 ]

Подставим выражение для ( d_1 ) из первого уравнения во второе:

[ (d_2 + 5) \cdot d_2 = 36 ]

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

[ d_2^2 + 5d_2 = 36 ]

Перенесем 36 на левую сторону уравнения:

[ d_2^2 + 5d_2 - 36 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -36 ). Подставим эти значения в формулу:

[ d_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} ]

Посчитаем дискриминант:

[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ d_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2} ]

[ \sqrt{169} = 13 ]

Таким образом, у нас два возможных значения:

[ d_2 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]

[ d_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9 ]

Так как длина диагонали не может быть отрицательной, то получаем единственное физически осмысленное значение:

[ d_2 = 4 ]

Теперь найдем длину другой диагонали ( d_1 ):

[ d_1 = d_2 + 5 = 4 + 5 = 9 ]

Таким образом, длина меньшей диагонали параллелограмма равна 4 см.

Пусть x - длина меньшей диагонали, тогда большая диагональ равна x + 5. Также из условия известно, что x * (x + 5) = 36. Решив уравнение, получаем x = 4 см. Следовательно, длина меньшей диагонали равна 4 см.

Пусть ( a ) и ( b ) - длины диагоналей параллелограмма, где ( a > b ). Тогда по условию задачи: [ a = b + 5 ] [ a \cdot b = 36 ]

Подставим первое уравнение во второе: [ (b + 5) \cdot b = 36 ] [ b^2 + 5b - 36 = 0 ]

Решим квадратное уравнение: [ b^2 + 9b - 4b - 36 = 0 ] [ b(b + 9) - 4(b + 9) = 0 ] [ (b - 4)(b + 9) = 0 ]

Таким образом, получаем два возможных значения для ( b ): [ b = 4 ] или ( b = -9 ]

Так как длина диагонали не может быть отрицательной, то ( b = 4 ). Тогда для ( a ): [ a = 4 + 5 = 9 ]

Следовательно, меньшая диагональ параллелограмма равна 4 см.