Около окружности радиус которой равен 16 корней из 2 описан квадрат.Найдите радиус окружности, описанной...

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине длины диагонали квадрата.

Для квадрата, описанного около окружности радиусом ( R = 16\sqrt{2} ), длина стороны квадрата будет равна ( 2R = 32\sqrt{2} ).

Длина диагонали квадрата ( d ) вычисляется по формуле: [ d = a\sqrt{2} ] где ( a ) — сторона квадрата.

Таким образом, длина диагонали будет: [ d = (32\sqrt{2})\sqrt{2} = 32 \cdot 2 = 64. ]

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали: [ R_{вн} = \frac{d}{2} = \frac{64}{2} = 32. ]

Ответ: радиус окружности, описанной около квадрата, равен 32.

Для решения задачи начнем с анализа окружности и квадрата.

1. Радиус окружности: Окружность радиусом ( R = 16\sqrt{2} ) описана вокруг квадрата. Это означает, что квадрат вписан в эту окружность.

2. Сторона квадрата: Вписанный квадрат имеет свои углы, касающиеся окружности. Если обозначить сторону квадрата через ( a ), то радиус окружности, описанной около квадрата, можно выразить через сторону квадрата следующим образом. Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадратов может быть найдена по формуле: [ d = a\sqrt{2} ] где ( a ) — длина стороны квадрата. Соответственно, радиус описанной окружности ( R{опис} ) равен: [ R{опис} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} ]

1. Связь между радиусом окружности и стороной квадрата: Поскольку квадрат вписан в окружность радиусом ( R ), можно использовать следующие соотношения: [ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} ] Подставим известный радиус: [ 16\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} ] Умножим обе стороны на 2: [ 32\sqrt{2} = a\sqrt{2} ] Теперь делим обе стороны на ( \sqrt{2} ): [ a = 32 ]

2. Радиус описанной окружности квадрата: Теперь, зная сторону квадрата, мы можем найти радиус окружности, описанной вокруг этого квадрата: [ R_{опис} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{32\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2} ]

Итак, радиус окружности, описанной вокруг квадрата, равен ( 16\sqrt{2} ).

Таким образом, ответ на задачу: [ \text{Радиус окружности, описанной около квадрата, равен } 16\sqrt{2}. ]

Для решения задачи давайте разберемся с геометрической ситуацией.

Дано:

• Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен ( R = 16\sqrt{2} ).
• Нужно найти радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

1. Свойства окружностей и квадрата:

   • Если квадрат описан около окружности, то радиус окружности равен половине стороны квадрата. Это связано с тем, что окружность вписана в квадрат, а диаметр окружности совпадает с одной из сторон квадрата.
   • Если окружность описана около квадрата, то радиус этой окружности равен половине длины диагонали квадрата.

2. Находим сторону квадрата: Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Обозначим сторону квадрата за ( a ). Тогда: [ R = \frac{a}{2}. ] Подставляем значение радиуса ( R = 16\sqrt{2} ): [ 16\sqrt{2} = \frac{a}{2}. ] Умножим обе части равенства на 2, чтобы найти ( a ): [ a = 32\sqrt{2}. ]

3. Находим диагональ квадрата: Диагональ квадрата ( d ) связана со стороной квадрата формулой: [ d = a\sqrt{2}. ] Подставляем значение ( a = 32\sqrt{2} ): [ d = (32\sqrt{2})\sqrt{2}. ] Упростим выражение: [ d = 32 \cdot 2 = 64. ]

4. Находим радиус описанной окружности: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата: [ R{\text{опис}} = \frac{d}{2}. ] Подставляем значение диагонали ( d = 64 ): [ R{\text{опис}} = \frac{64}{2} = 32. ]

Ответ:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен ( \mathbf{32} ).