Определите b, если известно, что один из корней уравнения 4x2−15x+b=0 является квадратом другого Помогите

Для того чтобы найти значение параметра b, удовлетворяющее условию задачи, мы можем воспользоваться тем, что один из корней уравнения является квадратом другого.

Пусть корни уравнения 4x^2 - 15x + b = 0 равны α и β, где α - квадратный корень. Тогда сумма корней равна α + β = 15/4, а произведение корней равно αβ = b/4.

По формулам Виета для квадратного уравнения, сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Из условия задачи, мы получаем систему уравнений: α + β = 15/4 αβ = b/4

Решив эту систему уравнений, мы найдем значение параметра b.

Для того чтобы решить задачу, где один из корней квадратного уравнения является квадратом другого, обозначим корни уравнения через ( x_1 ) и ( x_2 ). По условию, один из корней является квадратом другого, то есть мы можем предположить, что ( x_1 = x_2^2 ) или ( x_2 = x_1^2 ).

Уравнение имеет вид:

[ 4x^2 - 15x + b = 0. ]

По теореме Виета для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), сумма корней равна ( -\frac{b}{a} ), а произведение корней равно ( \frac{c}{a} ). Применим это к нашему уравнению:

1. Сумма корней: [ x_1 + x_2 = \frac{15}{4}. ]

2. Произведение корней: [ x_1 \cdot x_2 = \frac{b}{4}. ]

Теперь рассмотрим случай, когда ( x_1 = x_2^2 ). Тогда:

1. Сумма корней: [ x_2^2 + x_2 = \frac{15}{4}. ]

2. Произведение корней: [ x_2^2 \cdot x_2 = x_2^3 = \frac{b}{4}. ]

Из первого уравнения:

[ x_2^2 + x_2 = \frac{15}{4}. ]

Перепишем его как квадратное уравнение относительно ( x_2 ):

[ x_2^2 + x_2 - \frac{15}{4} = 0. ]

Это уравнение можно решить через дискриминант:

[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{15}{4}\right) = 1 + 15 = 16. ]

Корни квадратного уравнения:

[ x_2 = \frac{-1 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-1 \pm 4}{2}. ]

Это дает нам два корня:

[ x_2 = \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x_2 = -\frac{5}{2}. ]

Теперь найдем ( x_1 ) для каждого случая и определим ( b ):

1. Если ( x_2 = \frac{3}{2} ), то ( x_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} ): [ x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{8}. ] Таким образом, ( \frac{b}{4} = \frac{27}{8} ), и ( b = \frac{27}{8} \cdot 4 = \frac{27}{2} ).

2. Если ( x_2 = -\frac{5}{2} ), то ( x_1 = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} ): [ x_1 \cdot x_2 = \frac{25}{4} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{125}{8}. ] Таким образом, ( \frac{b}{4} = -\frac{125}{8} ), и ( b = -\frac{125}{8} \cdot 4 = -\frac{125}{2} ).

Таким образом, возможные значения ( b ) — это ( \frac{27}{2} ) или ( -\frac{125}{2} ).