Определите промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции y=5x - sin2x. Пожалуйста!

Конечно, давайте разберем, как определить промежутки выпуклости вверх и вниз для функции ( y = 5x - \sin(2x) ).

Для этого нам нужно найти второй производной функции и исследовать её знак.

1. Найдем первую производную функции.

   Функция ( y = 5x - \sin(2x) ).

   Первая производная ( y' ) вычисляется так: [ y' = \frac{d}{dx}(5x - \sin(2x)) = 5 - \frac{d}{dx}(\sin(2x)) ]

   При этом производная от (\sin(2x)) по правилу цепочки равна (2\cos(2x)): [ y' = 5 - 2\cos(2x) ]

2. Найдем вторую производную функции.

   [ y'' = \frac{d}{dx}(5 - 2\cos(2x)) ]

   Производная от константы (5) равна (0), а производная от (-2\cos(2x)) по правилу цепочки равна (4\sin(2x)): [ y'' = 4\sin(2x) ]

3. Определим знаки второй производной.

   Чтобы определить промежутки выпуклости, нужно понять, когда вторая производная положительна (выпуклость вверх) и когда отрицательна (выпуклость вниз).

   [ 4\sin(2x) > 0 \quad \text{(выпуклость вверх)} ] [ 4\sin(2x) < 0 \quad \text{(выпуклость вниз)} ]

   Так как (\sin(2x)) колеблется между -1 и 1, знаки второй производной зависят от знака (\sin(2x)).

4. Рассмотрим, где (\sin(2x) = 0).

   (\sin(2x) = 0) в точках (2x = k\pi), где (k \in \mathbb{Z}).

   Следовательно, (x = \frac{k\pi}{2}), где (k \in \mathbb{Z}).

5. Определим интервалы для выпуклости вверх и вниз.

   • Для ( \sin(2x) > 0 ) (выпуклость вверх): [ 2x \in (2k\pi, (2k+1)\pi) \quad \Rightarrow \quad x \in \left(\frac{k\pi}{2}, \frac{(k+1)\pi}{2}\right) ] где (k) - четное целое число.

   • Для ( \sin(2x) < 0 ) (выпуклость вниз): [ 2x \in ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi) \quad \Rightarrow \quad x \in \left(\frac{(k+1)\pi}{2}, \frac{(k+2)\pi}{2}\right) ] где (k) - четное целое число.

Таким образом, промежутки выпуклости функции ( y = 5x - \sin(2x) ) можно записать следующим образом:

• Выпуклость вверх (конкавный график): [ x \in \left(\frac{k\pi}{2}, \frac{(k+1)\pi}{2}\right), \quad \text{где } k = 2n, \ n \in \mathbb{Z} ]

• Выпуклость вниз (выпуклый график): [ x \in \left(\frac{(k+1)\pi}{2}, \frac{(k+2)\pi}{2}\right), \quad \text{где } k = 2n, \ n \in \mathbb{Z} ]

Эти интервалы чередуются через каждые (\frac{\pi}{2}), что отражает периодическую природу функции ( \sin(2x) ).

Для определения промежутков выпуклости вверх (вниз) графика функции y=5x - sin(2x) необходимо найти вторую производную функции и проанализировать ее знак на промежутках.

Сначала найдем первую производную функции: y' = 5 - 2cos(2x)

Затем найдем вторую производную функции: y'' = 4sin(2x)

Теперь проанализируем знак второй производной на различных промежутках:

1. Когда sin(2x) > 0 (то есть на промежутках, где sin(2x) > 0), то y'' > 0, что означает, что график функции выпукл вверх.
2. Когда sin(2x) < 0 (то есть на промежутках, где sin(2x) < 0), то y'' < 0, что означает, что график функции выпукл вниз.

Таким образом, промежутки выпуклости вверх графика функции y=5x - sin(2x) будут соответствовать промежуткам, где sin(2x) > 0, а промежутки выпуклости вниз - промежуткам, где sin(2x) < 0.