Определите степень,старший коэффициент и свободный член многочлена P(x)=(3x^2-x+1)^17 +(x^3 +5x +1)^11

Многочлен P(x) - это сумма двух многочленов: (3x^2 - x + 1)^17 и (x^3 + 5x + 1)^11.

1. Степень многочлена P(x) равна степени максимального из этих двух многочленов. Степень первого многочлена (3x^2 - x + 1)^17 равна 2, умноженная на 17, т.е. 34. Степень второго многочлена (x^3 + 5x + 1)^11 равна 3, умноженная на 11, т.е. 33. Следовательно, степень многочлена P(x) равна 34.

2. Старший коэффициент многочлена P(x) - это коэффициент при старшем члене. Старший член первого многочлена равен 3^17 = 129140163. Старший член второго многочлена равен 1^11 = 1. Следовательно, старший коэффициент многочлена P(x) равен 129140163.

3. Свободный член многочлена P(x) - это член без переменных. Свободный член первого многочлена равен 1^17 = 1. Свободный член второго многочлена равен 1^11 = 1. Так как свободный член первого и второго многочлена равны, то свободный член многочлена P(x) равен 1+1 = 2.

Итак, степень многочлена P(x) равна 34, старший коэффициент равен 129140163, а свободный член равен 2.

Чтобы определить степень, старший коэффициент и свободный член многочлена ( P(x) = (3x^2 - x + 1)^{17} + (x^3 + 5x + 1)^{11} ), необходимо рассмотреть каждый из слагаемых отдельно.

1. Степень многочлена:

   • Для первого слагаемого ((3x^2 - x + 1)^{17}), максимальная степень будет определяться максимальной степенью одночлена внутри скобок, возведенной в степень 17. Наибольший одночлен в ((3x^2 - x + 1)) — это (3x^2), следовательно, максимальная степень будет ( (3x^2)^{17} = 3^{17} \cdot x^{34} ). Таким образом, степень первого слагаемого — 34.

   • Для второго слагаемого ((x^3 + 5x + 1)^{11}), максимальная степень будет определяться аналогично. Наибольший одночлен — это (x^3), и его возведение в степень 11 дает ( (x^3)^{11} = x^{33} ). Таким образом, степень второго слагаемого — 33.

   Сравнив степени двух слагаемых, видим, что степень многочлена (P(x)) определяется наибольшей из них, т.е. 34.

2. Старший коэффициент:

   • Для ((3x^2)^{17}), старший коэффициент будет (3^{17}).

   • В ((x^3)^{11}), старший коэффициент — 1, но он не повлияет на общий старший коэффициент, так как его степень меньше.

   Таким образом, старший коэффициент многочлена (P(x)) будет равен (3^{17}).

3. Свободный член:

   • Свободный член — это число, получающееся при подстановке (x = 0).

   • Для ((3x^2 - x + 1)^{17}) свободный член равен (1^{17} = 1), так как при (x=0) остается только 1.

   • Для ((x^3 + 5x + 1)^{11}) свободный член также равен (1^{11} = 1).

   Таким образом, свободный член многочлена (P(x)) будет (1 + 1 = 2).

Подведем итоги:

• Степень многочлена (P(x)): 34.
• Старший коэффициент: (3^{17}).
• Свободный член: 2.

Степень многочлена P(x) - 3, старший коэффициент - 1 и свободный член - 1.